Question

Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:

f (x) = (x^2 ) (x+ 2)


Una empresa tiene la siguiente función de producción: C =-5/4 P^3+5P^2 , donde P representa el número de horas de trabajo efectuadas por la empresa diariamente, y C el número de kilos obtenidos de un determinado producto industrial.


Calcule el valor de P para el cual el producto total es máximo.


necesito ayuda

Answer 1

RESPUESTA:

Para el primer ejercicio, tenemos la siguiente función:

f(x) = x²·(x+2)

Procedemos a resolver la distributiva.

f(x)= x³ + 2x²

Ahora, tenemos que encontrar máximos, mínimos y punto de inflexión, para ello debemos buscar la primera y segunda derivada.

• f'(x) = 3x² + 4x
• f''(x) = 6x + 4

Igualamos la primera derivada a cero para los máximos y mínimos:

3x² + 4x = 0

x(3x+4) = 0

Tenemos dos puntos críticos:

x = 0

3x+4 = 0 → x = -4/3

Verificamos en la segunda derivada si es máximo o mínimos.

f''(0) = 6·0 + 4 = +4 → Positivo, es decir, un mínimo

f''(0) = 6·(-4/3) + 4 = -4 → Negativo, es decir, un máximo

Buscamos la imagen de cada punto.

f( 0) = 0³ + 2(0)² = 0

f(-3/4) = (-4/3)³ + 2·(-4/3)² = 32/27

Entonces, nuestros puntos son:

• MÍNIMO → (0,0)
• MÁXIMO → ( -4/3, 32/27)

El punto de inflexión es cuando la segunda derivada es igual a cero, tenemos que:

6x+ 4 = 0

x = -4/6

Tenemos un punto de inflexión en -4/6, buscamos la imagen

f(-4/6) = (-4/6)³ + 2·(-4/6)² = 16/27

• PUNTO DE INFLEXIÓN → (-4/6, 16/27)

Adjunto podemos ver la gráfica.

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Para el segundo ejercicio debemos derivar la expresión y buscar los puntos críticos.

C = (-5/4)·P³ + 5P²

C' = 3·(-5/4)·P² + 10P

C'' = 6·(-5/4)·P + 10

Igualamos la primera derivada a cero.

(-15/4)P² + 10P = 0

P[(-15/4)P + 10) = 0

P = 0

P= 8/3

En este caso tenemos que el punto máximo es P = 8/3, se puede verificar usando la segunda derivada, pero por definición es así.

Evaluamos para obtener el número de kilos, tenemos:

C = (-5/4)·(8/3)³ + 5(8/3)²

C = 11.85

Entonces, se deben trabajar 8/3 horas para obtener un producción máxima de 11.85 kilogramos.