Halle el centroide de la región acotada por las gráficas de y+x^2=6 y y+2x-3=0 Considere las fórmulas del centroide de la región en el plano:
Respuestas
RESPUESTA:
Adjunto podemos observar las ecuaciones que se deben utilizar para encontrar el centroide:
Ahora, debemos calcular las integrales, procederemos a calcular la integral de área, tenemos:
A = ∫ₐᵇ f(x) - g(x) dx
Los puntos donde se interceptan son
- x = -1
- x= 3
Procedemos a calcular el área.
A = ∫₋₁³ (6-x²)-(-2x+3) dx
Resolvemos integral y evaluamos, tenemos:
A = x³/3 + x² -9x|₋₁³
A = (3)³/2 + (3)² - 9(3) - [-1³/3 + (-1)² -9(-1)]
A = 10.67
Ahora calculamos a My, tenemos que:
My = ∫₋₁³ x·[(6-x²)-(-2x+3)] dx
My = ∫₋₁³ x³ +2x² - 9x dx
My = x⁴/4 + 2x³/3 - 9x²/2|₋₁³
Evaluamos y tenemos que:
My = 3⁴/4 + 2(3)³/3 - 9(3)²/2 -[1/4 + 2(-1)³/3 - 9(-1)²/2]
My = 10.67
Ahora procedemos a calcular a Mx, tenemos:
Mx = ∫ₐᵇ f²(x) - g²(x) dx
Mx = ∫₋₁³ (6-x²)²-(-2x+3)² dx
Resolviendo producto notable y simplificando nos queda:
Mx = ∫₋₁³ (x⁴ - 12x² +36) dx
Resolvemos y evaluamos y tenemos que:
Mx = x⁵/5 - 24x³/3 + 36x|₋₁³
Mx = 3⁵/5 - 24(3)³/3 + 36(3) - [(-1)⁵/5 - 24(-1)³/3 + 36(-1)]
Mx = 76.8
Procedemos a calcular el centroide, tenemos:
Cx = My/A
Cx = 10.67/10.67
Cx = 1
Cy = Mx/A
Cy = 76.8/10.67
Cy = 7.19
Por tanto el punto del centroide será C(1,7.19). Observemos que el centroide esta fuera de la figura, esto puede suceder.
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