El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua?
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Respuesta dada por:
2
RESPUESTA:
Para resolver este ejercicio debemos derivar el igualar a cero y obtener el valor de X, tenemos que:
x² - 10x + 20y - 15 = 0
Derivando implícitamente tenemos:
2x -10 + 20y' = 0
Despejamos la derivada el igualamos a cero, tenemos:
(-2x+10)/20 = y'
-2x + 10 = 0
x = 5
Buscamos el valor de Y que representa la altura.
(5)² -10(5) +20y -15 = 0
y = 2
Por tanto, la altura máxima a la que llegará el chorro será de 2 metros de altura.
Ahora debemos completar un trinomio cuadrado perfecto, para esto tomamos a 10 que acompaña a x de exponente 1 y lo dividimos en 2 y al resultado lo elevamos al cuadrado así:
x^2 - 10x + 25= -20y + 15 + 25
De esta manera podemos factorizarlo como el cuadrado de un binomio así:
(x-5)^2 = -20y + 40
Ahora para finalizar y tener nuestra ecuación de la parábola, debemos factorizar el término que hay después del igual de esta manera:
(x-5)^2 = -20(y - 2)
x^2 - 10x + 25= -20y + 15 + 25
De esta manera podemos factorizarlo como el cuadrado de un binomio así:
(x-5)^2 = -20y + 40
Ahora para finalizar y tener nuestra ecuación de la parábola, debemos factorizar el término que hay después del igual de esta manera:
(x-5)^2 = -20(y - 2)
Como vemos la ecuación es igual a la de la parábola, con esto podemos hallar su vértice (h,k), entonces:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
(x - 5)^2 = -20(y - 2)
-h = -5
h = 5
-k = -2
k = 2
Sabemos que el punto vértice es (5,2)
Ahora hallaremos a P entonces tenemos que:
4p = -20
p = (-20) / 4
p = -5
Sabiendo que P es negativo, nuestra parábola abre hacia abajo.
(x - h)^2 = 4p(y - k)
(x - 5)^2 = -20(y - 2)
-h = -5
h = 5
-k = -2
k = 2
Sabemos que el punto vértice es (5,2)
Ahora hallaremos a P entonces tenemos que:
4p = -20
p = (-20) / 4
p = -5
Sabiendo que P es negativo, nuestra parábola abre hacia abajo.
Hola, tenemos que:
(x-5)/10 = 0
El termino 10 pasa multiplicando, y como esta igualado a cero se anula. Entonces:
x-5 = 0
x= 5
Lo mismo ocurre con:
(-2x+10)/20 = y'
Igualamos a cero, tenemos:
(-2x+10)/20 = 0
El 20 pasa a multiplicar y se anula, entonces:
-2x+10 = 0
x = 5
El termino 10 pasa multiplicando, y como esta igualado a cero se anula. Entonces:
x-5 = 0
x= 5
Lo mismo ocurre con:
(-2x+10)/20 = y'
Igualamos a cero, tenemos:
(-2x+10)/20 = 0
El 20 pasa a multiplicar y se anula, entonces:
-2x+10 = 0
x = 5
Mi procedimiento no esta incorrecto, solamente uso un camino más facil, es decir, usar derivadas. Saludos.
Me sigues sin convencer con ese procedimiento, un 20 que divide lo estas desapareciendo muy fácil pasándolo a operar con el cero.
Si notas la naturaleza del ejercicio y los datos proporcionados se ve que se realiza con la ecuación de la parábola, eso le da 100% de credibilidad al proceso, ademas que así lo amerita el ejercicio aunque no se diga en el enunciado.
Si notas la naturaleza del ejercicio y los datos proporcionados se ve que se realiza con la ecuación de la parábola, eso le da 100% de credibilidad al proceso, ademas que así lo amerita el ejercicio aunque no se diga en el enunciado.
Las bases de las matemáticas son únicas y simples, ¿cómo eliminarías ese 20? multiplicando toda la expresión por 20, hazlo y notarás que se cancela, y no modifica la ecuación.
Un ejercicio abierto se deja a muchas interpretaciones, y dependiendo las herramientas de las personas se puede ir por otros caminos, por ello hay que especificar las condiciones.
Un ejercicio abierto se deja a muchas interpretaciones, y dependiendo las herramientas de las personas se puede ir por otros caminos, por ello hay que especificar las condiciones.
Si, se deja a muchas interpretaciones, sin embargo se debe usar el método adecuado, y respondiendo a tu pregunta, no eliminaría ese 20, sencillamente porque no usaría tu método.
No puedes cerrarte a un proceso, menos en las matemáticas, saludos. Si fuera un ejercicio de derivada implícita, no tendrías opción.
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Sabemos que la ecuación de la parábola es:
(x - h)^2 = 4p(y - k)
Para dejar la ecuación presente como ecuación de la parábola debemos dejar a un lado las x y después del igual los demás términos, así:
x^2 - 10x + 20y - 15 = 0
x^2 - 10x = -20y + 15