El chorro de agua que sale de la manguera con que riegas un jardín sigue una trayectoria que puede modelarse con la ecuación x2 – 10x +20y -15 = 0, con las unidades en metros. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el chorro de agua?

Respuestas

Respuesta dada por: gedo7
2

RESPUESTA:

Para resolver este ejercicio debemos derivar el igualar a cero y obtener el valor de X, tenemos que:

x² - 10x + 20y - 15 = 0

Derivando implícitamente tenemos:

2x -10 + 20y' = 0

Despejamos la derivada el igualamos a cero, tenemos:

(-2x+10)/20 = y'

-2x + 10 = 0

x = 5

Buscamos el valor de Y que representa la altura.

(5)² -10(5) +20y -15 = 0

y = 2

Por tanto, la altura máxima a la que llegará el chorro será de 2 metros de altura.



jpayalao: AQUI EL PROCESO CORRECTO:

Sabemos que la ecuación de la parábola es:

(x - h)^2 = 4p(y - k)

Para dejar la ecuación presente como ecuación de la parábola debemos dejar a un lado las x y después del igual los demás términos, así:

x^2 - 10x + 20y - 15 = 0

x^2 - 10x = -20y + 15
jpayalao: Ahora debemos completar un trinomio cuadrado perfecto, para esto tomamos a 10 que acompaña a x de exponente 1 y lo dividimos en 2 y al resultado lo elevamos al cuadrado así:
x^2 - 10x + 25= -20y + 15 + 25

De esta manera podemos factorizarlo como el cuadrado de un binomio así:
(x-5)^2 = -20y + 40

Ahora para finalizar y tener nuestra ecuación de la parábola, debemos factorizar el término que hay después del igual de esta manera:
(x-5)^2 = -20(y - 2)
jpayalao: Como vemos la ecuación es igual a la de la parábola, con esto podemos hallar su vértice (h,k), entonces:

(x - h)^2 = 4p(y - k)
(x - 5)^2 = -20(y - 2)

-h = -5
h = 5

-k = -2
k = 2

Sabemos que el punto vértice es (5,2)

Ahora hallaremos a P entonces tenemos que:

4p = -20

p = (-20) / 4

p = -5

Sabiendo que P es negativo, nuestra parábola abre hacia abajo.
gedo7: Hola, tenemos que:
gedo7: (x-5)/10 = 0

El termino 10 pasa multiplicando, y como esta igualado a cero se anula. Entonces:

x-5 = 0
x= 5

Lo mismo ocurre con:

(-2x+10)/20 = y'

Igualamos a cero, tenemos:

(-2x+10)/20 = 0

El 20 pasa a multiplicar y se anula, entonces:

-2x+10 = 0

x = 5
gedo7: Mi procedimiento no esta incorrecto, solamente uso un camino más facil, es decir, usar derivadas. Saludos.
jpayalao: Me sigues sin convencer con ese procedimiento, un 20 que divide lo estas desapareciendo muy fácil pasándolo a operar con el cero.
Si notas la naturaleza del ejercicio y los datos proporcionados se ve que se realiza con la ecuación de la parábola, eso le da 100% de credibilidad al proceso, ademas que así lo amerita el ejercicio aunque no se diga en el enunciado.
gedo7: Las bases de las matemáticas son únicas y simples, ¿cómo eliminarías ese 20? multiplicando toda la expresión por 20, hazlo y notarás que se cancela, y no modifica la ecuación.

Un ejercicio abierto se deja a muchas interpretaciones, y dependiendo las herramientas de las personas se puede ir por otros caminos, por ello hay que especificar las condiciones.
jpayalao: Si, se deja a muchas interpretaciones, sin embargo se debe usar el método adecuado, y respondiendo a tu pregunta, no eliminaría ese 20, sencillamente porque no usaría tu método.
gedo7: No puedes cerrarte a un proceso, menos en las matemáticas, saludos. Si fuera un ejercicio de derivada implícita, no tendrías opción.
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