Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región plana determinada por las ecuaciones –x^2=y-2 y 2y-x-2=0 alrededor del eje x entre x=-1 y x=1 Elabore la gráfica en Geogebra y considere el volumen en unidades cúbicas.
Respuestas
Respuesta.
El volumen por sólido revolución viene dado por:
V = ∫π·r²(x) dx
Donde r(x) es el radio en función de la variable x , es decir, la distancia desde la función hasta el eje de giro, en este caso y = 0.
En este caso tenemos que el radio de giro es y = 0, es decir, el eje X, entonces planteamos nuestras ecuaciones de volumen:
V = ∫₋₁⁰'⁶¹ π·(-x²+2 -0)² dx - ∫₋₁⁰'⁶¹π·(x/2 + 1 -0)² dx + ∫₀.₆₁¹ π·(x/2 + 1 -0)²- ∫₀.₆₁¹π·(-x²+2 -0)²
En la imagen adjunta se pueden observar los tres puntos fundamentales que generan los limites de integración, ahora procedemos a resolver las integrales:
I₁ = ∫ π·(-x²+2 -0)² dx
I₁ = π∫(-x²+2)² dx
I₁ = π∫ -x⁴ - 2x² + 4 dx
Aplicamos la integración inmediata ( se busca en tablas)
I₁ = π(-x⁵/5 - 2x³/3 + 4x)
Procedemos a evaluar limite superior menos limite inferior:
I₁ = π[-0.61⁵/5 - 2(0.61)³/3 + 4(0.61) - ((-1)⁵/5 - 2(-1)³/3 + 4(-1)]
I₁ = 15.77
Ahora procedemos con la segunda integral:
I₂ = ∫π·(x/2 + 1 -0)² dx
I₂ = π∫(x/2+1)² dx
I₂ = π∫x²/4 + x + 1 dx
Aplicamos inmediata y tenemos que:
I₂ = π·(x³/12 + x²/2 + x)
Aplicamos la evaluación de limite superior menos limite inferior:
I₂ = π[0.61³/12 + 0.61²/2 + 0.61 - ((-1)³/12 + (-1)²/2 - 1)]
I₂ = 4.39
Observemos que las integrales I₃ e I₄ son las mismas que I₁ e I₂, solamente cambian los limites de integración, por tanto es simplemente evaluar, y tenemos que los resultados finales serán:
V = 15.77- 4.39 + 2.41 -2.23
V = 11.56 u³
Por tanto, tenemos que el volumen de la región es de 11.56 unidades cubicas.
Estos ejercicios son muy sencillos, lo complicado es plantear las integrales y tener conocimiento para resolverlas.