Question

2. Solucione el siguiente ejercicio utilizando la Regla del Trapecio. (n= 4)

∫_0^1▒〖x^2/(2+x^(1/2) ) dx〗 ∫_1^3▒〖∛x(e^x)dx〗

Answer 1

RESPUESTA:

Para aplicar el método de trapecio tenemos que aplicar la siguiente formula:

∫ₐᵇ f(x) dx ≈ Δx/2 ·[ f(x₁) + 2f(x₂) + 2f(x₃) + ..... f(xn)]  

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Ahora, vemos con la primera función:

∫₀¹ x²/(2+√x) dx

Calculamos el Δx y creamos la partición.

Δx = b-a/n

Δx= (1-0)/4

Δx = 1/4

P = {0,1/4, 1/2, 3/4,1}

Ahora, evaluamos la función en todos los puntos, tenemos:

• f(0) = 0
• f(1/4) = 0.025
• f(1/2) = 0.0923
• f(3/4) = 0.1962
• f(1) = 0.333

Ahora, aplicamos la formula de aproximación:

∫₀¹ x²/(2+√x) dx ≈ (1/4)/2 · [ 0 + 2·(0.025) + 2·(0.0923) + 2·(0.1962) + 0.333]

∫₀¹ x²/(2+√x) dx ≈ 0.12

Entonces, el área aproximada tiene un valor de 0.12 unidades de área. El valor real es 0.116, podemos observar una buena aproximación.

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Tenemos la segunda función:

∫₁³ ∛x · eˣ dx

Calculamos el Δx y creamos la partición.

Δx = b-a/n

Δx= (3-1)/4

Δx = 1/2

P = {1,3/2, 2, 5/2,3}

Ahora, evaluamos la función en todos los puntos, tenemos:

• f(1) = 2.71
• f(3/2) = 5.13
• f(2) = 9.31
• f(5/2) = 16.53
• f(3) = 28.97

Aplicamos la ecuación de aproximación, tenemos:

∫₁³ ∛x · eˣ dx ≈ (0.5)/2 [2.71 + 2·(5.13) + 2·(9.31) + 2·(16.53) + 28.97]

∫₁³ ∛x · eˣ dx ≈ 23.405

Por tanto se tiene que el valor de la integral es aproximadamente 23.405 unidades de área.