Un poste se sostiene verticalmente por dos
cables que van desde la parte superior del poste
a dos puntos A y B separados 4 m y ubicados al
mismo lado del poste. Si los ángulos de los
cables y el piso en los puntos A y B son 48º y 33º
respectivamente, halle la longitud de los cables
y la longitud del poste
Respuestas
Un poste se sostiene verticalmente por dos cables que van desde la parte superior del poste a dos puntos A y B separados 4 m y ubicados al mismo lado del poste. Si los ángulos de los cables y el piso en los puntos A y B son 48º y 33º respectivamente, halle la longitud de los cables y la longitud del poste.
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Para verlo bien me he tomado un tiempo para dibujarte la situación del poste y los cables cuya longitud nos pide.
Lo primero que vemos es que se nos forma un triángulo escaleno (dos ángulos agudos y uno obtuso) donde se nos facilita el dato de un lado (4 m.) y dos ángulos (A y B) refiriéndome como ángulo A al que queda en el interior del triángulo y que es el obtuso del mismo.
Si lo miras con atención verás que en rojo he anotado los ángulos deducidos por normas básicas de geometría.
El ángulo A del interior es suplementario del que nos dan en la parte externa del triángulo y restando de 180º obtengo su valor = 132º
El ángulo B del interior es el que nos dan de 33º
El ángulo C (el que forman los dos cables que nacen de la parte superior del poste) se deduce por lo que sabemos de que en cualquier triángulo, la suma de sus ángulos siempre es igual a 180º. Así pues nos sale que dicho ángulo mide 25º
Como conocemos el valor de dos ángulos (A y B), y el lado comprendido entre ellos (c), se impone usar el teorema del seno para obtener el valor de los lados restantes que corresponden a los cables y también a lo que mide el poste.
El teorema del seno relaciona cada lado con el seno de su ángulo opuesto de este modo:
Calculo el lado "a" y para ello me valgo de la calculadora para obtener los valores del seno de A y de C que son:
- sen 132º = 0,74
- sen 25º = 0,42
Calculo el lado "b" del mismo modo tomando esta vez el seno de B que es 0,54 junto al de C y tengo esto:
Ya tengo las medidas de los dos cables. Ahora pasamos a la altura del poste que forma otro triángulo, en este caso rectángulo y aquí podremos usar la función trigonométrica pura del seno puesto que conocemos el ángulo opuesto al poste que es exterior al triángulo anterior y que nos daba el propio ejercicio y es = 48º cuyo seno con calculadora me dice que es el mismo que su suplementario, es decir = 0,74
La función seno dice: sen A = cateto opuesto / Hipotenusa
En este caso el cateto opuesto es el poste y la hipotenusa es el lado "b" que hemos visto que mide 5,2 metros, así que despejo el cateto opuesto de la fórmula y tengo:
Cat. opuesto (altura poste) = sen A × Hipotenusa = 0,74 × 5,2 = 3,87 m.
Tenemos ya los tres resultados:
- Cable mayor = 7 m.
- Cable menor = 5,2 m.
- Poste = 3,87 m.
Saludos.
Los cable A y B mide 2.21 metro y 3 metros respectivamente y luego la altura mide 2.22 metros
Teorema del seno para triángulos
Encontramos la longitud de cada cable haciendo uso del teorema del seno qué consiste en que la división de cada longitud de lado con el seno del ángulo opuesto es igual
El ángulo opuesto a 4 metros mide un tit de 180° - 48°- 33° = 99°
Cálculo del primer lado (Lado A)
Tenemos que el ángulo opuesto a A es 33°, por lo tanto:
4 m/Sen(99°) = A/Sen(33°)
A = 4 m/Sen(99°) * Sen(33°)
A=2.21metros
Cálculo del segunda lado (Lado B)
Tenemos que el ángulo opuesto a B es 48°, por lo tanto:
4 m/Sen(99°) = B/Sen(48°)
B = 4 m/Sen(99°) * Sen(48°)
B = 3 metros
Cálculo de la longitud del poste
Es la longitud de un triángulo rectángulo de una hipotenusa de 3 metros y ángulo opuesto a la altura de 48°
Sen(48°) = altura/3 metros
altura = Sen(48°)* 3 metros
altura = 2.22 metros
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