Question

Un árbol en una ladera proyecta una sombra de 215 pies ladera abajo. Si el ángulo de inclinación de la ladera es 22o con respecto a la horizontal y el ángulo de elevación del Sol es 52o, encuentre la altura del árbol.

Answer 1

La altura h del árbol es de aproximadamente 174.60 pies

Se trata de un problema trigonométrico que contiene a tres triángulos, por tanto:

Según la figura que se adjunta se representa la situación en tres triángulos: el SPQ, el SPR y el SRQ, en donde los dos primeros son rectángulos y el tercero oblicuángulo

En donde para el triángulo rectángulo SPQ el lado SQ equivale a la distancia hasta la parte superior del árbol desde el pie de la ladera -la que se observa con un ángulo de elevación al sol de 52°-, el lado PQ representa la distancia desde el suelo hasta el extremo superior del árbol y el lado PS es el plano horizontal donde se asienta la base de la ladera

Donde este triángulo rectángulo contiene a dos triángulos:

El SPR y el SRQ siendo el primero rectángulo y el segundo obtusángulo

Donde el triángulo rectángulo SPR representa a la ladera -donde se ubica el árbol- la cual tiene un ángulo de inclinación de 22°-respecto a la horizontal- y donde conocemos la dimensión del lado SR la cual es la longitud de la sombra proyectada por el árbol - cuesta abajo- de 215 pies

Dado que lo que se pide hallar es la altura h del árbol y no otra cosa prescindiremos de los triángulos rectángulos y trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ para la resolución del ejercicio

Donde para este triángulo SRQ conocemos el valor del lado SR que es la longitud de la sombra proyectada por el árbol -donde esa distancia es la misma que la hipotenusa del triángulo rectángulo SPR que representa a la ladera- con un valor de 215 pies y se tiene el lado SQ que es la distancia desde el pie de la ladera en S hasta la cima del árbol. Y finalmente el lado QR que es la altura del árbol y nuestra incógnita

Luego para resolver este problema trabajaremos en el triángulo oblicuángulo SRQ

Donde para resolver triángulos no rectángulos como este emplearemos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo obtusángulo SRQ

Hallamos el valor del ángulo interno en S al que denotamos como α

Restando del ángulo de elevación al sol de 52° el ángulo de inclinación de la ladera de 22°:

Teniendo:

$\boxed {\bold { \alpha =52^o -22^o }}$

$\large\boxed {\bold { \alpha = 30^o}}$

Hallamos el valor del ángulo interno en Q al que denotamos como γ

El valor de este ángulo resulta ser el mismo que para el triángulo rectángulo SPQ

Consideramos luego un ángulo recto de 90° y el ángulo de elevación al sol de 52°

Por la sumatoria de los ángulos interiores de un triángulo:

Planteamos:

$\boxed {\bold { 180^o = 90^o+ 52^o+ \gamma}}$

$\boxed {\bold {\gamma = 180^o - 90^o- 52^o }}$

$\large\boxed {\bold {\gamma= 38^o }}$

No siendo necesario para la resolución del ejercicio hallar el valor del tercer ángulo

Calculamos la altura h del árbol empleando el teorema del seno

$\bold{\overline {QR} = h = Altura \ Del \ Arbol }$

$\bold{\overline {SR} =Sombra \ Del \ Arbol = 215 \ pies }$

$\large\boxed { \bold { \frac{\overline{QR} \ h}{ sen( \alpha ) }= \frac{\overline{SR} }{sen(\gamma)} }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR}\ h }{ sen(30 ^o ) } = \frac{ \overline{SR} }{sen(38^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \frac{ \overline{QR} \ h }{ sen(30 ^o ) } = \frac{ 215 \ pies }{sen(38^o ) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 215 \ pies \ . \ sen(30^o ) }{sen(38^o) } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 215 \ pies \ . \ 0.5 }{ 0.615661475326 } }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h = \frac{ 107.5 }{ 0.615661475326 }\ pies }}$

$\boxed { \bold { \overline{QR} \ h \approx 174.60894 \ pies }}$

$\large\boxed { \bold { \overline{QR}\ h \approx 174.60\ pies }}$

La altura h del árbol es de aproximadamente 174.60 pies

Se adjunta gráfico para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas