Calcular el volumen máximo de un paquete rectangular, que posee una base cuadrada y cuya suma de ancho + alto + largo es 121cm.
Respuestas
Sabemos que el volumen de un paquete rectangular viene dado por la siguiente expresión:
Volumen = Ancho* Alto * Largo.
y sabemos que, como la base es cuadrada entonces:
Ancho = Largo
y el volumen viene dado por:
Volumen = Ancho²* Alto.
además sí:
Ancho+alto+largo = 121 cm entonces:
2Ancho + alto = 121 cm
de modo que:
alto= 121-2Ancho.
Al sustituir en el volumen:
Volumen = Ancho²(121-2Ancho=
Volumen = 121Ancho²-2Ancho³.
Para conocer el volumen máximo derivamos:
Volumen' = 242 Ancho-6Ancho² =0
Ancho = 40.33 cm
ahora para saber si se trata de un máximo vamos a calcular la segunda derivada y evaluar en ese punto:
Volumen '' = 242-12Ancho=
Volumen '' = -241.96 <0 por lo tanto es un maximo.
Entonces el volumen máximo es:
Volumen = 121(40.33)²-2(40.33)³ = 65613.36 cm³
Datos:
Largo (l) + Ancho (a) + Altura (h) = 121 cm
Se parte del supuesto que la longitud del largo es el doble del ancho y que este es igual a la altura.
Matemáticamente se expresa así:
l = 2a
h = a
Al sustituir estas en la expresión original se tiene:
121 cm = 2a + a + a
121 cm = 4a
Despejando el valor del ancho (a) queda:
a = 121 cm : 4 = 30,25 cm
a = 30,25 cm
Entonces la longitud de la altura (h) es idéntica al ancho por ser una base cuadrada.
h = 30,25 cm
En consecuencia, la longitud del largo es entonces:
l = 2a = 2 x 30,25 cm = 60,5 cm
l = 60,5 cm
El Volumen (V) se obtiene multiplicando los valores de las tres magnitudes.
V = l x a x h
V = 30,25 cm x 30,25 cm x 60,5 cm = 55.361,2812 cm³
V = 55.361,2812 cm³
¡Espero que te haya servido! Saludos :)