Question

En un bosque ocurre el depósito natural de basura, tal como hojas, ramas caídas y animales muertos. Si A (t) es la cantidad de basura presente en el instante t, donde A(t) se expresa en gramos por metro cuadrado y t está en años.
Asumiendo que A (0)=0 (no hay basura) y que la variación de la cantidad de
basura, viene dada por:
dt
dA
= 200-0.5A = (Basura que cae –Basura desintegrada)
a) Despeje A.
b) Calcule la cantidad de basura por m² después de 1 año

Answer 1

RESPUESTA:

Inicialmente tenemos una tasa de cambio, es decir, la derivada del área respecto al tiempo, por tanto lo que debemos hacer es integrar, para obtener la función principal, tenemos:

dA/dt =  200 - 0.5A

Tenemos entonces que:

dt = dA/(200-0.5A)

Procedemos a integrar y tenemos que:

t = ∫dA/(200-0.5A)

t = -2·ln(200-0.5A) + C

Pero sabemos que cuando t = 0, entonces A = 0, tenemos:

0 = -2·ln(200-0.5(0)) + C

C = 2ln(200)

Entonces nuestra ecuación será:

t = -2·ln(200-0.5A) + 2ln(200)

Debemos ahora despejar a A y dejar en función del tiempo, tenemos que:

-0.5(t - 2ln(200)) = ln(200-0.5A)

e^(-0.5(t - 2ln(200))) = 200-0.5A

-e^(-0.5(t - 2ln(200))) +200 = 0.5A

-2e^(-0.5(t - 2ln(200))) +400 = A

Ahora, calculamos la cantidad de basura para cuando t = 1 año, tenemos:

A = -2e^(-0.5(1 - 2ln(200))) +400

A = 157.38 g/m²

Entonces tendremos una basura de 157.37 g/m²