Respuestas
Primero para no hacer la derivada de una división se saca factor común en el denominador y se cancela con la x del denominador y después derivas.
y = x(4x^2+3x)/(x) = 4x^2+3x
y' = 4*2*x^(2-1) + 3*1*x^(1-1) = 8x + 3*x^0 = 8x +3*1 = 8x + 3
La otra forma para resolverlo es con derivada de una división, que es:
y = x/y entonces la derivada de una división es y' = ( (x)' * y - x * (y)' ) / ( y^2 )
y = (4x^3+3x^2)/(x)
Se aplica la formula de derivada de la división
y' = ( (4x^3+3x^2)' * x - ( (x)' * (4x^3+3x^2)) ) / (x^2)
Se derivan los términos
y' = ( (12x^2 + 6x) * x - (1 * (4x^3+3x^2) ) ) / (x^2)
Se distribuyen las multiplicaciones
y' = (12x^3 + 6x^2 - (4x^3+3x^2) ) / (x^2)
Se multiplica el - que es (-1) a los demás términos para quitar el paréntesis, lo puse en negrita arriba, la multiplicación está abajo.
y' = ( 12x^3 + 6x^2 - 4x^3 -3x^2 ) / (x^2)
Sumas los términos de igual exponente
y' = ( 8x^3 + 3x^2 ) / ( x^2 )
Se hace factor común x^2
y' = ( x^2 * (8x + 3) ) / ( x^2 )
se cancelan las x^2
y' = 8x + 3