Resolver los siguientes problemas de aplicación de las derivadas. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: f (x) = (x^2 ) (x-4)
Respuestas
veamos primeor la función completa
f(x)=x³-4x²
para hallar los máximo y mínimos, primero tienes que hallar los puntos críticos que es donde , o sea, donde la primera derivada se hace cero, existen dos variantes para saber si esos puntos son máximos y/o mínimos, que son las pruebas de la primera y la segunda derivada, voy a usar la de la segunda derivada que dice que si
estamos en presencia de un máximo y si
estamos en presencia de un mínimo, donde c es el punto crítico
para hallar los puntos de inflexión, se halla la segunda derivada, se determinan los ceros de la segudna derivada, y se escogen puntos cualquiera en los intervalos que se forman para analizar si hay cambio de signo, si hay cambio de signo entonces es un punto de inflexión
calculemos la primera y la segunda derivada
calculemos ahora los puntos críticos
sustituimos en la segunda derivada
en el caso de x=0 dio negativo, por tanto x=0 es un punto de máximo, el punto completo es (0;0), el valor de y se calcula sustituyendo en la ecuación original
en el caso de x=0 dio positivo, por tanto es un punto de mínimo, el punto completo es (
)
hallamos los ceros de la segunda derivada
como es un único punto, vemos si es un punto de inflexión
escogemos un valor antes y uno después, x=1 y x=2, para analizar el comportamiento sustityendo estos puntos en la segunda derivada, si hay cambio de signo (de positivo a negativo o de negativo a positivo) entonces es un punto de inflexión
como vemos hay camvio de signo, por tanto es un punto de inflexión, el punto completo es ()
Espero te haya ayudado
Saludos...