Question

Resolver los siguientes problemas de aplicación de las derivadas. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función: f (x) = (x^2 ) (x-4)

Answer 1

veamos primeor la función completa

f(x)=x³-4x²

para hallar los máximo y mínimos, primero tienes que hallar los puntos críticos que es donde  $f'(x)=0$, o sea, donde la primera derivada se hace cero, existen dos variantes para saber si esos puntos son máximos y/o mínimos, que son las pruebas de la primera y la segunda derivada, voy a usar la de la segunda derivada que dice que si $f''(c)<0$ estamos en presencia de un máximo y si $f''(c)>0$ estamos en presencia de un mínimo, donde c es el punto crítico

para hallar los puntos de inflexión, se halla la segunda derivada, se determinan los ceros de la segudna derivada, y se escogen puntos cualquiera en los intervalos que se forman para analizar si hay cambio de signo, si hay cambio de signo entonces es un punto de inflexión

calculemos la primera y la segunda derivada

$f'(x)=3x^{2} -8x\\f''(x)=6x-8$

calculemos ahora los puntos críticos

$f'(x)=0\\3x^{2} -8x=0\\x(3x-8)=0\\x=0\\x=\frac{8}{3}$

sustituimos en la segunda derivada

$f''(0)=6*0-8=-8\\f''()\frac{8}{3}=6* \frac{8}{3}-8=16-8=8$

en el caso de x=0 dio negativo, por tanto x=0 es un punto de máximo, el punto completo es (0;0), el valor de y se calcula sustituyendo en la ecuación original

en el caso de x=0 dio positivo, por tanto $x=\frac{8}{3}$ es un punto de mínimo, el punto completo es ($\frac{8}{3} ;-\frac{256}{27}$)

hallamos los ceros de la segunda derivada

$f''(x)=0\\6x-8=0\\x=\frac{8}{6} = \frac{4}{3}$

como es un único punto, vemos si es un punto de inflexión

escogemos un valor antes y uno después, x=1 y x=2, para analizar el comportamiento sustityendo estos puntos en la segunda derivada, si hay cambio de signo (de positivo a negativo o de negativo a positivo) entonces es un punto de inflexión

$f''(1)=6*1-8=-2\\f''(2)=6*2-8=4$

como vemos hay camvio de signo, por tanto es un punto de inflexión, el punto completo es ($\frac{4}{3} ;- \frac{128}{27}$)

Espero te haya ayudado

Saludos...