Un circuito que consiste en una bobina con inductancia de 24 mH y resistencia de 40 Ω, se encuentra conectada en serie con un capacitor y un generador con un voltaje de 60V, encuentre:
a. El valor de la capacitancia que provocará que el circuito entre en resonancia a 12Khz.
b. La corriente a través de la bobina a la frecuencia de resonancia.
c. La Q del circuito.
Respuestas
RESPUESTA:
Podemos observar que nuestro circuito consta de tres parámetros fundamentales, inductancia, resistencia y capacitor, por tanto tenemos un circuito RLC.
1- En un circuito RLC se cumple que:
XL = XC
Entonces, por definición sabemos que se cumple que la frecuencia de resonancia será (fr) :
fr = 1/2π·√(LC)
Sabemos que la frecuencia es de 12x10³ Hz, entonces despejamos a C.
12x10³Hz = 1/[2π·√(24x10⁻³C)]
C = 7.32x10⁻⁹ F
2- Corriente que atraviesa la bobina.
Sabemos que la corriente viene dada por la relación de la impedancia y el voltaje.
I = V/Z
Ahora, dato fundamental, sabemos que llega a la resonancia de la frecuencia, por tanto Z = 40Ω, entonces:
I = 60V/40 Ω
I = 1.5 A
3- Para la carga se cumple que:
Q = 2πf₀L / R
Por tanto, teniendo la frecuencia de resonancia decimos que:
Q = 2π·12x10³·24x10⁻³/ 40Ω
Q = 45.23 C
Obteniendo de esta manera la carga del circuito.
Respuesta:
Un circuito RLC, en serie, como el del problema planteado, entra en resonancia cuando ocurre:
.- El voltaje en el capacitor C se hace igual al del inductor I, tanto en magnitud como en fase. Es decir, Vc = Vi
.- Las reactancias capacitiva, Xc, e inductivas, Xl, se igualan, esto es, Xl = Xc.
.- El factor de potencia, cos ϕ se hace 1, es decir, cos ϕ = 1 (el ángulo de fase ϕ es cero).
Datos:
L = 24 mH
Rl = 40 Ω
Vi = 60 Vac
f₀ = 12 KHz
Determinar:
a) Cf₀ = ? (Capacitancia del Condensador a f₀)
b) If₀ = ? (Corriente o Intensidad del Circuito a f₀)
c) Q = ? (Factor de Calidad del Circuito)
Explicación:
a) Como se mencionó, en un circuito RLC en Resonancia, se cumple que:
Xl = Xc ⇒ 2πf₀L = 1 / (2πf₀C) ⇒ f₀ = 1 /2π(√LC)
de donde se obtiene que:
C = 1 / L( 2πf₀)²; ( 1 )
Reemplazando, los valores de L y f₀:
C = 1 / 24*10⁻³(2*3,1416*12*10³)² = 1 /947,49*10³= 1,06*10⁻⁶ = 1,06 μF
∴ Cf₀ = 1,06 μF
b) En un circuito RLC en serie, la corriente del circuito se expresa como I y es igual a:
I = V / Z; ( 2 ), donde:
V es el voltaje aplicado al circuito y Z es su impedancia total
Asimismo, la Impedancia Total del circuito RLC en serie se expresa como:
Z = √((R² + ( Xl - Xc)²)
Pero como ya se sabe, al alcanzarse la resonancia en el circuito, Xl = Xc, por lo que la ecuación anterior se expresa como:
Z = R, es decir que la impedancia total en f₀ se hace netamente resistiva, que no es más que la resistencia del embobinado del inductor. Entonces, en f₀:
Zf₀ = 40 Ω = Z = R
Así, de la ec. (2), la corriente I del circuito RLC en resonancia es:
If₀ = V/ Z = 60 v / 40 Ω = 1,5 A ∴ If₀ = 1,5 A
c) El factor de calidad Q del circuito RLC, en resonancia, puede ser definido como:
Q = Xl/R = Xc/R; ( 3 )
Así, podemos determinar Q, si conocemos a Xl o Xc:
Sabemos que Xl = 2πf₀L, entonces:
Q = 2πf₀L / R; ( 4)
Reemplazando L y R en ec. ( 4 ) se tiene:
Q = 2π*12*10³*24*10⁻³/40 = 45,24
∴ Q = 45,24