Una empresa desea construir un tanque rectangular con capacidad para 1500 pies cúbicos de agua. La base y las paredes verticales deberán ser de concreto y la tapa de acero. Si el costo del acero es el doble por unidad de área que el del concreto, determine del tanque que minimizan el costo total de construcción por medio de multiplicadores de LaGrange.
Respuestas
Primero vamos a plantear la ecuación y las condiciones:
Voluemen = 1500
Costo total = 4(b*h)C1 + (b*L) C2
C2=2C1
Costo total = 4(b*h)C1 + 2(b*L)C1
entonces:
Costo total = 2bC1 (2h+L)
sabemos que C1 es constante así que podemos sacarlo y decir que:
Costo total = 2b(2h+L) ----> Sabiendo que donde esto sea minimo el costo será minimo.
como condición tenemos que:
b*h*L = 1500
Calculamos entonces las derivadas parciales respecto a cada una de las varibales:
- dCosto total /db = λ dVolumen/db
- dCosto total /dL = λ dVolumen/dL
lo cual nos queda:
- 2(2h+L) = λ (h*L)
- 4b= λ(b*h)
- 2h= λ L*b
Ahora buscamos dejar los multiplicadores en función de λ
h =4/λ
L= (8/λ)
b= 1/λ
Entonces:
al sustituir en la restricción:
4/λ*8/λ*1/λ = 1500
32/λ³=1500
λ= 0.27.
en esta forma podemos calcular los valores de h, b y L
h= 4/0.27= 14.42
b=1/0.27= 3.7
L=8/0.27= 29.62
Respuesta:
Yo tengo una maestría en matemática pura y la respuesta es incorrecta el mínimo es el punto)(10,10,15)