Question

Cada mañana, un paciente recibe una inyección de 25 mg de un antiinflamatorio y el 40% del medicamento permanece en el cuerpo después de 24 horas encuentre la cantidad presente en el cuerpo
A) justo después de la tercera inyección
B) justo después de la sexta inyección
C) en el largo plazo (un Horizonte infinito), justo después de una sola inyección
(empleadono series geometricas)

Answer 1

Cada mañana, un paciente recibe una inyección de 25 mg de un antiinflamatorio y el 40% del medicamento permanece en el cuerpo después de 24 horas. Encuentre la cantidad presente en el cuerpo

• A) justo después del tercer día
• B) justo después del sexto día
• C) en el largo plazo (un horizonte infinito)

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Estamos ante una progresión geométrica (PG) que, para que tenga sentido su solución he tenido que cambiar el texto del ejercicio ya que si dejáramos el texto original no se entiende cada cuántos días le ponen la inyección.

Deduzco que el ejercicio quiere calcular el medicamento que va quedando en el cuerpo del paciente según van pasando los días ya que se va eliminando del cuerpo.

Asi pues, lo primero que se hace es identificar los datos del ejercicio y convertirlos en los datos de una PG.

Comenzamos con una inyección de 25 mg. y esa cantidad será el primer término de la PG, es decir,  a₁ = 25 mg.

Este término hemos de multipilcarlo por el 40% que queda en el cuerpo, es decir, por 40/100 = 0,4 y esta será la razón "r" de la progresión ya que cada nuevo resultado hallado se volverá a multiplicar por 0,4 para obtener el siguiente.

Para calcular lo pedido en el apartado A) usamos la fórmula general de las progresiones geométricas que dice:   $a_n=a_1*r^{n-1}$

Sustituyo los términos conocidos y digo que  an = a₃  puesto que nos pide después de la tercera inyección y el nº de términos a tener en cuenta será n=3

$a_3=25*0,4^{3-1} =25*0,16=4\ mg.$

Para el apartado B) es lo mismo teniendo en cuenta que ahora hay que calcular el valor del sexto término  a₆  y que el nº de términos... n=6

$a_6=25*0,4^{6-1}=25*0,01024 = 0,256\ mg.$

Finalmente, en el apartado C) nos pide la fórmula general que siempre nos dará el valor del término que queramos en función del nº de orden que ocupe en la PG, es decir, nos pide la fórmula específica para esta PG y ello se hace usando de nuevo la fórmula anterior pero dejando "n" sin sustituir.

$a_n=25*0,4^{n-1} \\ \\ a_n=\dfrac{25*0,4^n}{0,4^1}= 62,5*0,4^n$

El término general es:  $a_n=62,5*0,4^n$  (en el largo plazo)

Saludos.