4. Halle el área S de la superficie de revolución que se forma al girar la gráfica de f(x)=(x^2/2)+1/2 sobre el intervalo cerrado [0, 1] alrededor del eje Y. Interprete el resultado usando la gráfica del ejercicio generada en Geogebra.
Respuestas
Sabemos que la superficie viene dada por:
S = ∫₀¹ 2π (x2/2) +1/2 √1 + ((x2/2) +1/2)² dx
De forma tal que:
S = ∫₀¹ π (x²+1) + √1 + ((x2 +1)²/4 dx
Resolviendo la integral tenemos que:
S = π I1 + I2
Siendo:
I1 = ∫₀¹ x²+1 dx = x³+x |₀¹ = 2 u²
I2 = ∫₀¹ √1 + ((x2 +1)²/4 dx = 1.2
Entonces:
S = 3.2 π
RESPUESTA:
Tenemos la siguiente función, en el intervalo [0,1], entonces:
f(x) = x²/2 + 1/2
Tenemos que el calculo de la superficie de revolución viene dada por la siguiente integral:
As = 2π∫ₐᵇ f(x)·√(1+[f'(x)]²)
Por tanto, tenemos que conseguir la derivada de f(x), tenemos:
f'(x) = 2x/2
f'(x) = x
Sustituimos en la ecuación, tenemos:
As = 2π∫ (x²/2 + 1/2)·√(1+x²) dx
Observemos que debemos resolver la integral, pero la resolución de la misma se deja en imágenes adjunta, ya que tiene su complicaciones.
Entonces, nuestra primitiva es igual a:
As = (π/8)·[3·ln(√x²+1 + x) + √x²+1 ·(2x³+5x)]
Debemos evaluar esto en limite superior ( x = 1) y limite inferior (x=0), cuando evaluamos en cero tenemos que la función es cero, por tanto evaluaremos solamente en x = 1.
As = (π/8)·[3·ln(√1²+1 + 1) + √1²+1 ·(2(1)³+5(1))]
As = 4.92 u
Por tanto, el área superficial es igual a 4.92 unidades de superficie.
ANÁLISIS:
Observemos que la imagen roja gira alrededor del eje Y, esto formará una especie de cilindro, en donde la altura habrá una U, nuestro valor 4.92 unidades de superficie, representa la superficie externa de la región de sólido de revolución que se formar, es decir, la superficie externa de esta sólido.
Recordemos lo siguiente:
∫√(1+[f'(x)]²)
Esta representa la longitud de arco de la función, luego se multiplica por f(x), lo cual es la longitud de arco por la función que forma el sólido, esto nos da la superficie.
