Question

emplear la integral doble, para el cálculo del área de una región acotada por las curvas x+y=0 y -x^2+2x-y=0, determinando lo siguiente.
a) hacer la gráfica correspondiente a la región que encierran las curvas
b) considerando una región tipo l, calcule el valor del área encerrada por esas curvas

Answer 1

RESPUESTA:

Adjunto podemos observar la gráfica que nos permite ver la región entre las dos curvas.

Ahora debemos buscar el área pero aplicando integrales dobles, entonces:

A = ∫∫ dA

Entonces, integraremos en función de la variable Y, tenemos:

$A = \int\limits^a_b \int\limits^{g(x)}_{f(x)}  \, dydx$

Entonces, la parte más externa es la variable X, esta va desde x = 0 hasta x = 3, definimos las funciones:

f(x) = -x

g(x) = -x² + 2x

Tenemos entonces que:

$A = \int\limits^3_0 \int\limits^{-x^2+2x}_{-x}  \, dydx$

Ahora, siempre debemos resolver la parte interna y luego la externa, la parte interna nos indica que:

∫dy = y|ₐᵇ = y(b) - y(a)

Tenemos:

A = ∫₀³ -x^2+2x - (-x) dx

Ahora, resolvemos nuestra integral y evaluamos y tenemos:

A = -x³/3 + 3x²/2|₀³

Como en cero es completamente nula, evaluamos solamente el limite superior:

A = -(3)³/3 + 3(3)²/2

A = 4.5 u²

Por tanto, el área de nuestra región es de 4.5 unidades cuadradas.