Question

Se desea construir un silo de forma cilíndrica rematada por una semiesfera. El costo de construcción por centímetros cuadrados del cilindro es de $80 y el costo de construcción por centímetros cuadrados de la semiesfera es de $50. Encuentre las dimensiones del silo de volumen 250 〖cm〗^3, de forma que el costo de construcción sea mínimo.

Answer 1

Respuesta.

Para resolver este problema se tiene que la función objetivo es la siguiente:

C = 80*Ac + 50*Ae

Ahora se tiene que el área del cilindro es:

Ac = 2π*r*L + π*r²

Ae = 2π*r²

Sustituyendo se tiene que:

C = 80*(2π*r*L + π*r²) + 50*(2π*r²)

Ahora se tiene que el volumen total del silo es:

V = π*r²*L + 2π*r³/3

Datos:

V = 250 cm³

Sustituyendo:

250 = π*r²*L + 2π*r³/3

L = 250/(π*r²) - 2*r/3

Sustituyendo el valor de L en la función objetivo se tiene que:

C = 80*[2*π*r*(250/(π*r²) - 2*r/3) + π*r²] + 50*(2π*r²)

C = 40000*π*r/(π*r²) - 320*π*r²/3 + 80*π*r² + 100*π*r²

C = 40000/r + 220*π*r²/3

Ahora se deriva y se iguala a cero para obtener los puntos críticos:

C' = -40000/r² + 440π*r/3

0 = -40000/r² + 440π*r/3

40000 = 440π*r³/3

r = 4.428 cm

Entonces L será:

L = 250/(π*4.428²) - 2*4.428/3

L = 1.11 cm