Question

Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta: Un punto 0 de una ecuación diferencial de la forma y´´ + f(x)y´ + g(x)y = 0 es ordinario si las dos funciones f(x) g(x) son analíticas en ese punto. Es decir, pueden representarse en series de potencias de (x − x0) con radio de convergencia R > 0.
Si al menos una de ellas no lo es, el punto se dice que es singular.
Un punto singular x0, se dice singular regular si las funciones (x − x0)f(x), (x − x0) 2g(x) son ambas funciones analíticas en ese punto.
De la siguiente ecuación ´´ + [x/ x (x−1)] y´ + sin x / x (y) = 0 se puede afirmar que:

a. = 1 singular regular, ≠ 1 ordinarios
b. = 1 irregular, ≠ 0 ordinarios
c. = 0 ordinario y > 0 ordinarios
d. = 0 singular regular ≠ 0 ordinarios

Answer 1

RESPUESTA:

En este pregunta, realizando un análisis tipo sencillo, podemos observar que tenemos dos funciones:

• f(x) =  (x)/x·(x-1)
• g(x)= Senx/x

Ahora, observemos que existen dos puntos singulares, tenemos que x = 0 y x = 1, ya que al menos una función, no es analítica en este punto.

Veamos que la singularidad x = 0 hace que ambas funciones no sean analíticas, podemos entonces decir, que para x ≠1 tenemos un puntos ordinarios.

Ahora, x = 1, es irregular, debido a que una función no es analítica en ese punto pero la otra sí.

Teniendo en cuenta estos dos análisis podemos decir que la opción correcta es la B, sin embargo es necesario, en algunos casos, buscar las series de potencia para la demostración.