Teniendo en cuenta la siguiente información conteste las preguntas 1 y 2.
Para una serie de potencias dada hay sólo tres posibilidades: i) La serie converge sólo cuando x=a. ii) La serie converge para toda x y iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge para y diverge para .
El número R en el caso (iii) se llama radio de convergencia de la serie de potencias.
Obsérvese que la desigualdad se puede reescribir de nuevo como
Una serie de potencias podría converger o no en los puntos extremos y de este intervalo.
1. Teniendo en cuenta lo anterior, ¿para qué valores de converge la serie de potencias? Justifique su respuesta
a. La serie converge solo cuando x=2
b. La serie converge absolutamente para lo que equivale a
c. La serie converge absolutamente para lo que equivale a -
d. La serie converge absolutamente para lo que equivale a -
2. El radio de convergencia de la serie de potencias es
a.
b.
c.
d.
Respuestas
RESPUESTA:
1- Para buscar el radio y el intervalo de convergencia debemos aplicar el criterio de la razón el cual nos indica que:
lim(n→∞) |a(n+1)/an| < 1
Teniendo en cuenta este criterio, tenemos la siguiente serie:
∑ n(x+2)ⁿ/3ⁿ⁺¹ → Desde n = 0 hasta ∞
Sabemos entonces que:
an = n(x+2)ⁿ/3ⁿ⁺¹
a(n+1) = (n+1)·(x+2)ⁿ⁺¹/(3ⁿ⁺²)
Ahora, aplicamos el criterio de la razón que mencionamos al principio.
lim(n→∞) [(n+1)·(x+2)ⁿ⁺¹/(3ⁿ⁺²)]/[n(x+2)ⁿ/3ⁿ⁺¹]
Aplicamos la doble C y tenemos que:
lim(n→∞) (3ⁿ⁺¹·(n+1)·(x+2)ⁿ⁺¹)/(3ⁿ⁺²·n·(x+2)ⁿ)
Ahora, aplicamos propiedades de potencia en los términos que son iguales, tenemos:
lim(n→∞) (1/3)·(n+1)(x+2)/n
Aplicamos el límite y tenemos que:
lim(n→∞) (1/3)·(n+1)(x+2)/n = (1/3)·(x+2)
Ahora, para que la serie puede converger el CRITERIO DE LA RAZÓN, nos indica que debe ser menor que 1 el modulo del limite, entonces:
|(1/3)x+2|< 1
|x+2| < 3 → Condición sin extensión
Ahora, debemos aplicar propiedad de modulo, tenemos:
-3 < x+ 2 < 3
Sumamos (-2) en ambos extremos:
-3 - 2 < x < -2 + 3
-5 < x < 1
Nuestra opción correcta es la d, converge para |x+2| < 3 que equivale al intervalo -5 < x < 1.
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Para este segundo ejercicio debemos aplicar el mismo procedimiento del primero, y aplicar el mismo criterio.
∑ (-1)ⁿ⁺¹·xⁿ/n³ → Desde n = 0 hasta ∞
Tenemos entonces:
an = (-1)ⁿ⁺¹·xⁿ/n³
a(n+1) = (-1)ⁿ⁺²·xⁿ⁺¹/(n+1)³
Aplicamos el criterio de la razón:
lim(n→∞) [(-1)ⁿ⁺²·xⁿ⁺¹/(n+1)³]/[(-1)ⁿ⁺¹·xⁿ/n³]
Aplicamos doble C, tenemos:
lim(n→∞) n³· (-1)ⁿ⁺²·xⁿ⁺¹/ (n+1)³·(-1)ⁿ⁺¹·xⁿ
Aplicamos propiedades de potencia en los términos que son iguales:
lim(n→∞) (-1)¹·n³·x/(n+1)³
Resolvemos el límite y tenemos que:
lim(n→∞) (-1)¹·n³·x/(n+1)³ = -x
Aplicamos el criterio de la razón, en donde la serie diverge si es el modulo del limite es menor a 1, tenemos:
|-x| < 1
Sabemos que el modulo elimina al negativo, entonces:
|x| < 1
Por tanto, el radio de esta serie es R = 1, la opción correcta es la C.
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NOTAS:
1- Siempre que estemos trabajando con series de potencia y debamos buscar el intervalo y radio de convergencia se debe utilizar el criterio de la razón, en cualquier fuente sale este criterio para mayor información.
2- Al momento de resolver el limite recordemos que este es cuando n tiende a infinito, por tanto, todo lo que no sea n es una constante y sale del limite.
3- Estos limites siempre tienen la característica que se pueden resolver por orden mayor, es decir, siempre el númerador y denominador crecen de igual manera, por tanto el limite es la división de los coeficientes de las variables con mayor potencia. Para verificar se recomienda utilizar L'Hopital.
4- En caso que sea necesario, repasar propiedades de potencia, ya que son fundamentales para simplificar, antes de resolver el limite, SIEMPRE, hay que simplificar.