Question

1. Calcular la derivada implicita de la siguiente ecuacion:
x^2 y^3+y^2-3x=x+y

2. Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x) = (x-5) (x^2)

3. Con un cartón de 8X6 metros se pretende construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja para obtener su volumen máximo.

Answer 1

SOLUCIÓN :

1) calcular la derivada implicita =?  

    x²y³ +y²-3x = x +y

    x²*3y²*dy/dx+ 2x*y³+2ydy/dx - 3 = 1 + dy/dx

    ( 3x²y²+2y -1 )*dy/dx = (4 -2xy³)

      dy/dx = ( 4-2xy³)/(3x²y²+ 2y -1 ) .

 2) Hallar máximos , mínimos y puntos de inflexión =?

      f(x) =(x -5)*x^2 = x³-5x²

        f'(x)= 3x²-10x =0

       x=0   x = 10/3

     x = 0 es un máximo( cambio de creciente a decreciente)  y x = 10/3( cambio de decreciente a creciente )   es un mínimo .

     f'(-1)= 13        f'(1)= -7     f'(-4)= 88

   f''(x)= 6x -10 =0

       x = 5/3  es un punto de inflexión , porque cambia de cóncava hacia arriba a cóncava hacia abajo.

   f''( 1 )= 6*1 -10 = -4  cóncava hacia abajo

   f''( 2) = 6*2-10 = 2   cóncava hacia arriba .

  3) un cartón de 8x 6 metros .

     caja sin tapas .

      dimensiones de la caja =? maximo volumen

       V = ( 8-2x )*( 6-2x )*x

      Largo = 8-2x

    ancho= 6- 2x

     altura =x

       V(x)= 48x-28x²+4x³  

       V'(x) = 48 -56x + 12x²=0

         x = 1.13           x = 3.53  al evaluar en la primera derivada se observa que en x= 1.13 pasa de creciente a decreciente y en x = 3.53 pasa de decreciente a creciente .

      en x = 1.13  se presenta un máximo y en x = 3.53 hay un mínimo .

      Para que el volumen sea máximo de Vmax = 24.258 m³

         Largo= 8 -2*1.13 = 5.74 m

        ancho = 6-2*1.13 = 3.74 m

        altura = 1.13 m .

         

   

Answer 2

derivada implícita.

Solución:  

Derivamos;

dy/dx x^2 y^3+y^2-3x=dy/dx  x+y

dy/dx(x^2 y^3+y^2-3x)=2xy^3+3y^2  dy/dx (y) x^2+2y dy/dx (y)-3

dy/dx (x+y)=1+dy/dx(y)

2xy^3+3y^2  dy/dx (y) x^2+2y dy/dx (y)-3=1+dy/dx (y)-3

Que es igual a escribir:

2xy^3+3y^2 y'x^2+2yy'-3=1+y'

Despejamos y’;  

2xy^3+3y^2 y'x^2+2yy'-3=1+y'

Restamos en ambos lados 2xy^3;

2xy^3+3y^2 y^' x^2+2yy^'-3-2xy^3=1+y^'-2xy^3

Simplificamos;  

3y^2 y^' x^2+2yy^'-3=1+y^'-2xy^3

Sumamos en ambos lados 3;

3y^2 y^' x^2+2yy^'-3+3=1+y^'-2xy^3+3

Simplificamos;

3y^2 y^' x^2+2yy^'=y^'+4-2xy^3

Restamos en ambos lados y’;

3y^2 y^' x^2+2yy^'-y^'=y^'+4-2xy^3-y'

Simplificamos;

3y^2 y^' x^2+2yy^'-y^'=4-2xy^3

Factorizamos:

3y^2 y^' x^2+2yy^'-y^'=4-2xy^3

Factorizamos el término en común;

y'(3x^2 y^2+2y-1)=4-2xy^3

Dividimos en ambos lados 3x^2 y^2+2y-1;

(y'(3x^2 y^2+2y-1))/(3x^2 y^2+2y-1)=4/(3x^2 y^2+2y-1)-(2xy^3)/(3x^2 y^2+2y-1)

Simplificamos;

y'(4-2xy^3)/(3x^2 y^2+2y-1)

Respuesta:  

dy/dx (y)=(4-2xy^3)/(3x^2 y^2+2y-1)