Question

Considere el siguiente problema, defina el sistema de ecuaciones lineales que le describe y soluciónelo por medio de una reducción de Gauss – Jordan.

En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2 ,3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para coserlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

Answer 1

Tarea:

En una fábrica de ropa se producen tres estilos de camisas que llamaremos 1, 2 ,3. Cada prenda pasa por el proceso de cortado, cosido, planchado y empaquetado. Las camisas se elaboran por lote. Para producir un lote de camisas del tipo 1 se necesitan 30 min para cortarlas, 40 min para cocerlas y 50 min para plancharlas y empaquetarlas. Para el tipo 2, 50 min para cortar, 50 min para coser y 50 min para planchar y empaquetar. Para el tipo 3, 65 min para cortar, 40 min para coser y 15 min para planchar y empaquetar. ¿Cuántos lotes se pueden producir si se trabajan 8 horas en cortar, 8 horas en coser y 8 horas en planchar y empaquetar?

Solución:

Asignamos variables:

x = Número de camisas tipo a

y = Número de camisas tipo b

z = Número de camisas tipo c

Hacemos una relación tiempo con variables:

Tiempo que se emplea en cotar una camisa:

a = 30x minutos

b = 40y minutos

c = 65z minutos

30x + 40y + 65z y tiene que ser igual a las 8 horas que se trabajan que equivale a 480 minutos.   ( 1h = 60 minutos, 8h = 8*60= 480 minutos )

30x + 40y + 65z = 480

En planchar y empaquetar hacemos lo mismo y nos queda la siguiente ecuación:

50x + 50y - 15z = 480

Resumiendo las 3 ecuaciones nos quedan:

30x + 40y + 65z = 480

40x - 50y + 40z = 480

50x + 50y - 15z = 480

Solución por el método de Gauss Jordan:

6x + 8y + 13z = 96

4x - 5y + 4z = 48

10x + 10y - 3z = 96

-----------------------------------

$\left[\begin{array}{ccc}6&8&13\\4&-5&4\\10&10&-3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}148/3&154/3&0\\52/3&25/3&0\\10&10&-3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}-1436/25&0&0\\52/3&25/3&0\\-54/5&0&-3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\52/3&25/3&0\\54/5&0&3\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right]$

x = 3576/359

y = 144/359

z = 912/359

Y esos serían los valores de cada variable.

Answer 2

El problema tiene infinitas soluciones

Sea "x" el total de cortes que se realizan de la camisa 1, sea "y" el total de cosido y sea "y" el total de planchado y empaquetado, entonces tenemos el siguiente sistema de ecuaciones, como se disponen de 8 horas, entonces el total es 8*60 min = 480 min

30x + 50y + 65z = 480

40x + 50y + 40z = 480

50x + 50y + 15z = 480

Restamos la segunda y la tercera ecuación con la primera y obtenemos que:

10x - 25z = 0

20x - 50z = 0

Ahora bien, obtenemos dos ecuaciones linealmente dependiente, entonces el problema tiene infinitas soluciones

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