Question

Se desea construir un silo de forma cilíndrica rematada por una semiesfera. El costo de construcción
por centímetros cuadrados del cilindro es de $60 y el costo de construcción por centímetros
cuadrados de la semiesfera es de $30 .
Encuentre las dimensiones del silo de volumen 200 cm^3, de forma que el costo de construcción sea mínimo.

Answer 1

Respuesta:

cm2 cilindro = 60$.

cm2 esfera = 30$.

Entonces sabemos que las dimensiones el sillon, deben ser tales que el volumen sea de 12 cm².

Volumen =1/2 Volumen E + Volumen C.

Volumen E = 2/3 Volumen C, por lo que al sustituir_

Volumen = 1/2*2/3 Volumen C + Volumen C

Volumen = 4/3 Volumen C.

125 = 4/3  π * r²* h .

área del cilindro = 2πr*h

Costo = ( 2πr*h ) * 75 + 4πr² * 50

entonces despejando del volumen

h= 375/4πr²

sustituyendo en costo:

Costo = ( 2πr*375/4πr² ) * 75 + 4πr² * 50

Costo =  ( 375/2r ) * 75 + 200πr²

Costo = 14062.5/r + 628.31 r²

calculando la primera derivada tenemos que:

Costo ' = -14062.5/r²+1256.63 r

dónde se hace cero ?

0=  -14062.5/r²+1256.63 r

linealizamos:

0= -14062.5+1256.63r³

r= 11.2 .

Ahora para saber si es un máximo, calculamos la segunda derivada, y vemos si es positiva en ese punto:

Costo '' = -14062.5/r²+1256.63 r

Costo '' / r=11.2 = 1276 ----> Como es >0 entonces es un mínimo!

r= 11.2 cm

h= 375/4πr² = 0.23 cm