Se desea construir un silo de forma cilíndrica rematada por una semiesfera. El costo de construcción
por centímetros cuadrados del cilindro es de $60 y el costo de construcción por centímetros
cuadrados de la semiesfera es de $30 .
Encuentre las dimensiones del silo de volumen 200 cm^3, de forma que el costo de construcción sea mínimo.
Respuestas
Respuesta:
cm2 cilindro = 60$.
cm2 esfera = 30$.
Entonces sabemos que las dimensiones el sillon, deben ser tales que el volumen sea de 12 cm².
Volumen =1/2 Volumen E + Volumen C.
Volumen E = 2/3 Volumen C, por lo que al sustituir_
Volumen = 1/2*2/3 Volumen C + Volumen C
Volumen = 4/3 Volumen C.
125 = 4/3 π * r²* h .
área del cilindro = 2πr*h
Costo = ( 2πr*h ) * 75 + 4πr² * 50
entonces despejando del volumen
h= 375/4πr²
sustituyendo en costo:
Costo = ( 2πr*375/4πr² ) * 75 + 4πr² * 50
Costo = ( 375/2r ) * 75 + 200πr²
Costo = 14062.5/r + 628.31 r²
calculando la primera derivada tenemos que:
Costo ' = -14062.5/r²+1256.63 r
dónde se hace cero ?
0= -14062.5/r²+1256.63 r
linealizamos:
0= -14062.5+1256.63r³
r= 11.2 .
Ahora para saber si es un máximo, calculamos la segunda derivada, y vemos si es positiva en ese punto:
Costo '' = -14062.5/r²+1256.63 r
Costo '' / r=11.2 = 1276 ----> Como es >0 entonces es un mínimo!
r= 11.2 cm
h= 375/4πr² = 0.23 cm