Un cafetalero del sur de México dispone de 600 hectáreas aptas para sembrar café. Sabe que la ganancia en G pesos mexicanos que obtendrá de su producción dependerá del número de hectáreas sembradas x, de acuerdo a la expresión: G(x) = 2000x - 2x^2
a) ¿cómo es la concavidad de la expresión?
b) ¿Calcula cuántas hectáreas debería sembrar para obtener máxima ganancia?
c) ¿En cuánto disminuiría su ganancia si siembre las 600 hectáreas disponibles?
Respuestas
Planteamiento:
La ganancia en G pesos mexicanos que obtendrá de su producción dependerá del número de hectáreas sembradas x, de acuerdo a la expresión:
G(x) = 2000x-2x²
a) ¿cómo es la concavidad de la expresión?
Se puede observar como el término cuadrático es negativo, por tanto se puede afirmar que es cóncava hacia abajo (∩).
b) ¿Calcula cuántas hectáreas debería sembrar para obtener máxima ganancia?
Derivamos e igualamos a cero
G'(x) = 2000-4x = 0
x = 2000/4
x = 500 hectáreas.
Entonces:
G(500) = 2000(500) - 2(500)² = 500000
Se debe sembrar 500 hectáreas y la ganancia seria de 500000.
c) ¿En cuánto disminuiría su ganancia si siembre las 600 hectáreas disponibles?
G(600) = 2000·(600)-2·(600)² = 480000
G(600) = 500000-480000 = 200000
La ganancia va a disminuir en 200000.