Hallan el ángulo agudo de intersección de la circunferencia x^2+y^2=25 y la parábola x^2-4y-4=0 en uno cualquiera de sus dos puntos de intersección.
Respuestas
RESPUESTA:
Inicialmente buscaremos los puntos donde se intercepten. Para ello igualaremos las funciones:
- x² + y² -25 = 0
- x² - 4y -4 = 0
-y²+25 = 4y + 4
-y² -4y +21 = 0
Aplicamos resolvente y tenemos que:
- y₁ = 3
- y₂ = -7
Buscamos los valores de x, tenemos:
x² - 4(3) -4 = 0
x₁ = 4
Tenemos que nuestro punto de corte es de P(4,3).
Procedemos a buscar la recta tangente de cada ecuación en el punto seleccionado.
x² + y² -25 = 0
2x + 2y·y' = 0
y' = -x/y
Evaluamos y tenemos que:
m₂ = y' = -4/3 → Recta tangente evaluada en el punto
Ahora con la parábola, tenemos:
x² - 4y -4 = 0
2x - 4y' = 0
y' = x/2
m₁ = y' = 4/2 = 2 → Recta tangente evaluada en el punto
Ahora, aplicamos la formula de ángulo entre dos rectas tangente, tenemos:
tag(α) = (m₁ - m₂)/(1+m₁·m₂)
tag(α) = (2 + 4/3)/(1-2·4/3)
tag(α) = -2
α = Arctag(2)
α = 63.43º
Por tanto, el ángulo con el que se interceptan las curvas es de 63.43º.
Respuesta:
Inicialmente buscaremos los puntos donde se intercepten. Para ello igualaremos las funciones:
x² + y² -25 = 0
x² - 4y -4 = 0
-y²+25 = 4y + 4
-y² -4y +21 = 0
Aplicamos resolvente y tenemos que:
y₁ = 3
y₂ = -7
Buscamos los valores de x, tenemos:
x² - 4(3) -4 = 0
x₁ = 4
Tenemos que nuestro punto de corte es de P(4,3).
Procedemos a buscar la recta tangente de cada ecuación en el punto seleccionado.
x² + y² -25 = 0
2x + 2y·y' = 0
y' = -x/y
Evaluamos y tenemos que:
m₂ = y' = -4/3 → Recta tangente evaluada en el punto
Ahora con la parábola, tenemos:
x² - 4y -4 = 0
2x - 4y' = 0
y' = x/2
m₁ = y' = 4/2 = 2 → Recta tangente evaluada en el punto
Ahora, aplicamos la formula de ángulo entre dos rectas tangente, tenemos:
tag(α) = (m₁ - m₂)/(1+m₁·m₂)
tag(α) = (2 + 4/3)/(1-2·4/3)
tag(α) = -2
α = Arctag(2)
α = 63.43º
Explicación: