1.-se tiene un alambre de puas de 840 metros de longitud con lo cual se desea cercar( una vuelta completa) de un terreno de forma rectangular para un establo de ganaderia.¿cual debe ser las dimensiones del terreno cuya area sea maxima
2.un hombre que dispone de 160 m de alambre desea cercar un terreno de forma rectangular.si uno de los lados no necesita cerco¿ cuales deben ser las dimensiones para que el area sea maxima?
3.sea una hoja de cartulina de forma rectangular, cuya dimensiones son de 24 cm x 12 cm. con lo cual se construye una caja sin tapa,cortando cuadrados en las esquinas.determinar:
a) la expresion algebraica que modela el volumen de la caja en funcion de su altura.
b) construya una tabla para estimar las dimensiones de la caja cuyo volumen sea maximo.
c) bosqueja la grafica de la funcion del volumen.
Respuestas
1) x e y: dimensiones del área rectangular
Función Objetivo: maximizar área: A=x*y
Función Enlace: 840=2(x+y), perímetro (cercar el área rectangular)
despejando una variable de la función enlace y sustituyéndola en la función objetivo.
420=x+y
y=420-x
A=x(420-x)
A=420x-x^2
A'=420-2x
A''=-2
hallar puntos críticos, sustituirlos en la segunda derivada, si es resultado es menor que cero entonces tenemos un máximo, que es lo que nos piden
A'=0, así se obtienen los puntos críticos
420-2x=0
420=2x
x=210
A''(210)=-2<0, por tanto, x=210 es un máximo y es la dimensión x que necesitamos
y=420-x=420-210=210, dimensión y
Área máxima: A=x*y=210*210=44100m^2
Las dimensiones del terrerno para que el área sea máxima es para ambos lados del terreno 210m, y su área máxima sería 44100m^2
2) Similar al 1)
A=x*y
160=2x+y, solo se suma una y porque me dicen que uno de los lados no necesita cerco
y=160-2x
A=x(160-2x)
A=160x-2x^2
A'=160-4x
A''=-4
A'=0
160-4x=0
160=4x
x=40
A''(40)=-4, es un máximo
por tanto, y = 160-2x=160-2*40=160-80=80
A=x*y=40*80=3200
Las dimensiones del terreno para que el área sea máxima es ancho 40 m y largo 80 m, y su área máxima sería 3200m^2
3)a) V=(12-2x)(24-2x)x=4x^3-72x^2+288x
b) V'=12x^2-144x+288
V''=24x-144
V'=0
x1= 2,535 y x2=9,465 aproximadamente
V''(2,535)=-83,16<0 por tanto es un máximo, es lo que necesito
V''(9,465)=83.16>0 por tanto es un mínimo, no es lo que necesito
por tanto x = 2,535 es la solución buscada
Nota: si nos fijamos la solución 9,465, no es posible, porque para el lado de 12 c no da para cortar dos trozos de 9,465 cm
c) no tengo donde hacer a gráfica, es pero que la otra información te sirva
Saludos..