serian tan ambles de ayudarme con estos ejercicios
* Halla los máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función:
f (x) = (x^2 ) (x-3)
* Con un cartón de 6X4 metros se pretende construir una caja sin tapa, de volumen máximo. Hallar las dimensiones de dicha caja para obtener su volumen máximo.
Respuestas
RESPUESTA:
Para hallar los puntos máximos y mínimos tenemos buscar la primera y segunda derivada.
f(x) = x²·(x-3)
f'(x) = 2x·(x-3) + x² = 2x² - 6x + x² = 3x² -6x
f''(x) = 2(x-3) + 2x + 2x = 6x - 6
Ahora, para los puntos máximos y mínimos debemos igualar a cero la primera derivada.
3x² - 6x = 0
x(3x-6) = 0
- x₁ = 0
- x₂ = 2
Tenemos dos puntos críticos, veamos si son máximo o mínimos. Evaluamos en la segunda derivada.
- f''(0) = 6(0) - 6 = -6 ( - máximo)
- f''(2) = 6(2) - 6 = 6 (+ mínimo)
Por tanto, en x = 0 tenemos un máximo y en x = 2 tenemos un mínimo. Procedemos a buscar la otra coordenada.
- f(0) = 0²·(0-3) = 0
- f(2) = 2²·(2-3) = -4
M(0,0) y m(2,-4)
Ahora el punto de inflexión viene dado por la segunda derivada igualada a cero, tenemos:
6x - 6 = 0
x = 1
Por tanto, en x = 1 hay un punto de inflexión. Buscamos la otra coordenada.
f(1) = 1²·(1-3) = -2
PI ( 1,-2) → Punto de inflexión.
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Para este problema debemos buscar de la ecuación de volumen cuando la caja es armada, tenemos:
V = (6-2x)·(4-2x)·x
Para que el volumen se máximo debemos derivar e igualar a cero, tenemos:
V = (24x-20x² + 4x³)
dV/dx = 24 - 40x + 12x²
0 = 24 - 40x + 12x²
Aplicamos la resolvente y tenemos que:
- x₁ = 2.54
- x₂ = 0.78
Seleccionamos la altura menor porque es la más coherente.
- base = 6 -1.56 = 4.44
- ancho = 4- 1.56 = 2.44
- alto = 0.78
