Question

Tres enteros positivos forman una progresión aritmética de diferencia 11. Si hago la siguiente transformación:
El primer número de la progresión lo disminuyo en 6 unidades,
El segundo número de la progresión lo disminuyo en una unidad
El tercero lo duplico
Estos tres valores resultantes forman ahora una progresión geométrica.
Determine la suma de los 3 números de la progresión aritmética original.

Answer 1

Tres enteros positivos forman una progresión aritmética de diferencia 11. Si hago la siguiente transformación:

• El primer número de la progresión lo disminuyo en 6 unidades,  
• El segundo número de la progresión lo disminuyo en una unidad .
• El tercero lo duplico  

Estos tres valores resultantes forman ahora una progresión geométrica.  Determine la suma de los 3 números de la progresión aritmética original.

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Atendiendo a la función del dato "diferencia" en una progresión aritmética, que es el número que se suma a cada término para obtener el siguiente, se pueden representar los tres números originales de este modo:

1. término de la PA  = x
2. término de la PA  = x+11
3. término de la PA  = x+11+11 = x+22

Ahora se transforman según el texto:

• 1º término "x" pasa a ser "x-6"
• 2º término "x+11" se convierte en "x+11-1" = "x+10"
• 3º término "x+22" pasa a valer: "2·(x+22 = 2x+44"

Ahora tenemos una progresión geométrica con esos nuevos términos y en ella sabemos que cada término se obtiene a partir de multipilcar el anterior por un número llamado razón "r". Así pues tenemos estas ecuaciones:

• (x-6)*r = x+10 ... despejando "r" tengo... r = (x+10) / (x-6)
• (x+10)*r = 2x+44 ... despejando "r" tengo... r = (2x+44) / (x+10)

Se igualan las partes derechas ya que en la izquierda está "r"...

$\dfrac{x+10}{x-6}= \dfrac{2x+44}{x+10}\\ \\ \\ x^2+20x+100=2x^2+44x-12x-264\\ \\ x^2+12x-364=0$

Resuelvo por fórmula general de ecuaciones cuadráticas...

$x_1_,x_2= \dfrac{ -b \pm \sqrt{b^2-4ac} }{2a}$

• x₁ = (-12+40)/2 = 14
• x₂ = (-12-40)/2 = -26

Como primera solución escojo la de signo positivo, es decir,

• 14 sería el primer número de la progresión.
• 14+11 = 25 sería el segundo número de la progresión
• 25+11 = 36 sería el tercer número de la progresión.

Y su suma, tal como nos pide la tarea, 14+25+36 = 75 es la respuesta.

La segunda solución sale negativa (-26) y se desecha porque en el texto nos exige que los enteros sean positivos.

Saludos.