Question

Evaluar paso a paso las siguientes integrales impropias y grafiquelas en Geogebra para determinar si convergen o divergen.

∫_0^1▒〖√((1+x)/(1-x)) dx〗

Answer 1

Primero, aplicamos integración por sustitución: u = 1 - x

$=\int \:-\sqrt{\frac{-u+2}{u}}du\\\\=-\int \sqrt{\frac{-u+2}{u}}du\\\\=-\left(\sqrt{\frac{-u+2}{u}}u-\int \:-\frac{1}{u^{\frac{1}{2}}\sqrt{-u+2}}du\right)\\\\=-\left(\sqrt{\frac{-u+2}{u}}u-\left(-2\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{u}\right)\right)\right)\\\\=-\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}+\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}x-2\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-x}\right)\\\\=-\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}+\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}x-2\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-x}\right)+C$

Ahora, calculamos los límites:

$\int _a^bf\left(x\right)dx=F\left(b\right)-F\left(a\right)=\lim _{x\to \:b-}\left(F\left(x\right)\right)-\lim _{x\to \:a+}\left(F\left(x\right)\right)\\\\\lim _{x\to \:0+}\left(-\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}+\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}x-2\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-x}\right)\right)=-1-\frac{\pi }{2}\\\\\lim _{x\to \:1-}\left(-\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}+\sqrt{\frac{x+1}{1-x}}x-2\arcsin \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sqrt{1-x}\right)\right)=0\\\\=0-\left(-1-\frac{\pi }{2}\right)\\\\=\frac{\pi }{2}+1$

Esa sería la respuesta, ya resolviendo totalmente sería como 2.5707963157...

Weno, ahora en gráfico sería:

Tiene un deslizador, que va de -5 a 5