Question

En un banquete hay 43 personas entre hombres,mujeres y niños.en totalel banquete costo 1075 pesos.cada hombre pago 45 pesos,cada,mujer 30 pesos y cada niño 10 pesos.si el numero de hombres y mujeres es igual al número de niños menos 1.cuantos hombres,mujeres y niños hay

Answer 1

$\textbf{SEA:}\\\boldsymbol{h:}\text{La cantidad de hombres.}\\\boldsymbol{m:}\text{La cantidad de mujeres.}\\\boldsymbol{n:}\text{La cantidad de Ni\~nos.}\\ \\\textbf{RESOLVIENDO:}\\\cdot\text{Planteamos un sistema de ecuaciones, y lo resolvemos por sustituci\'on:}\\ \\\begin{cases}&h+m+n=43\quad\quad\quad\quad\quad\Longrightarrow\textbf{Ecuaci\'on 1}\\&45h+30m+10n=1075\quad\Longrightarrow\textbf{Ecuaci\'on 2}\\&h+m=n-1\ \hspace{1}\quad\quad\quad\quad\quad\Longrightarrow\textbf{Ecuaci\'on 3}\end{cases}$

$\cdot\ \text{Despejamos la}\ \boldsymbol{"n"}\ \text{en la ecuaci\'on 1 y sustituimos en la ecuaci\'on 2:}\\ \\\boldsymbol{n=43-h-m}\\ \\\cdot\text{Ahora sustituimos:}\\ \\45h+30m+10(43-h-m)=1075\\ \\45h+30m+430-10h-10m=1075\\ \\35h+20m=1075-430\\ \\35h+20m=645\\ \\\dfrac{35h+20m=645}{5}\quad\to\text{Divides todo entre 5.}\\ \\7h+4m=129\quad\Longrightarrow\textbf{Ecuaci\'on 4}$

$\cdot\ \text{Ahora sustituimos la}\ \boldsymbol{"n"}\ \text{en la ecuaci\'on 3:}\\ \\h+m=(43-h-m)-1\\ \\h+m=43-h-m-1\\ \\2h+2m=42\\ \\\dfrac{2h+2m=42}{2}\quad\to\text{Divides toto entre 2.}\\ \\h+m=21\quad\Longrightarrow\textbf{Ecuaci\'on 5}$

$\cdot\text{Despejamos la}\ \boldsymbol{"m"}\ \text{en la ecuaci\'on 5 y sustituimos en la ecuaci\'on 4:}\\ \\\boldsymbol{m=21-h}\\ \\\cdot\text{Ahora sustituimos:}\\ \\7h+4(21-h)=129\\ \\7h+84-4h=129\\ \\3h=129-84\\ \\3h=45\\ \\h=\dfrac{45}{3}\\ \\h=15\quad\Longrightarrow\boxed{\boxed{\text{La cantidad de hombres.}\ \checkmark}}\\ \\ \\\cdot\text{Ahora despejas}\ \boldsymbol{"m=21-h"}:\\ \\m=21-15\\ \\m=6\quad\Longrightarrow\boxed{\boxed{\text{La cantidad de mujeres.}\ \checkmark}}$

$\cdot\ \text{Ahora despejamos}\ \boldsymbol{"n=43-h-m"}:\\ \\n=43-15-6\\ \\n=22\quad\Longrightarrow\boxed{\boxed{\text{La cantidad de ni\~nos.}\ \checkmark}}\\ \\ \\\mathbb{RESPUESTA:}\ \text{Hay 15 hombres, 6 mujeres y 22 ni\~nos.}\\\textbf{NOTA:}\ \text{Incluyo la comprobaci\'on para tu tarea en el archivo adjunto.}\\ \\\textbf{MUCHA SUERTE...!!}$

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Answer 2

Respuesta:Para resolver este problema el sistema de ecuaciones es el siguiente:

1) x + y + z = 43

2) 45x + 30y + 10z = 1075

3) x + y - z = -1

La matriz de coeficientes queda así y su determinante es:

    |    1     1    1  |

Δ = | 45  30  10 | = 1*(-1*30 - 1*10) - 1*(-1*45 - 1*10) + 1*(1*45 - 1*30) = 30

    |   1     1     -1 |

Δ = 30

Ahora se calcula el determinante de cada incógnita:

      |  43     1    1  |

Δx = |1075  30  10 | = 43*(-1*30 - 1*10) - 1*(-1*1075 + 1*10) + 1*(1*1075 + 1*30)

      |   -1     1     -1 |

Δx = 450

      |    1     43    1  |

Δy = | 45  1075  10 | = 1*(-1*1075 + 1*10) - 43*(-1*45 - 1*10) + 1*(-1*45 - 1*1075)

      |   1      -1     -1  |

Δy = 180

      |    1     1     43  |

Δz = | 45  30  1075 | = 1*(-1*30 - 1*1075) - 1*(-1*45 - 1*1075) + 43*(1*45 - 1*30)

      |   1     1      -1    |

Δz = 660

Finalmente se tiene que la cantidad de hombres, mujeres y niños es de:

x = Δx/Δ = 450/30 = 15 hombres

y = Δy/Δ = 180/30 = 6 mujeres

z = Δz/Δ = 660/30 = 22 niños

Explicación paso a paso: