Question

Graficar y=-x² calculando su vertice, intercepto,rango y dominio

Answer 1

Vamos por partes

Teniendo una ecuación:
$y = - {x}^{2}$
que es una ecuación polinomial de segundo grado o ecuación polinomial cuadrátixaca. De ella, se nos pide determinar:

1.– El vértice (h, k).

Para las ecuaciones cuadráticas como las que tenemos, calcular las coordenadas del vérice exige el uso de la fórmula:

$h = \frac{ - b}{2a}$
Recordando que a, b y c son los coeficientes del primer, segundo y tercer término de una ecuación cuadrática. Así:

$h = \frac{ - 0}{2 ( - 1)} = \frac{ - 0}{ - 2} = \frac{0}{2} = 0$
Por lo tanto el vértice tendrá su coordenada en el eje x en 0. ¿Cómo determinamos la coordenada faltante? Simple: sustituimos en nuestra ecuación original el valor que acabamos de obtener:

$y = - {x}^{2}$
Si x = 0, entonces:

$y = -( {0})^{2} = - 0 = 0$
Así, concluimos que el vértice de la ecuación y= -x² estará ubicado en las coordenadas (0, 0)

2.– Sus intersecciones.

Las intersecciones de una ecuación no son otra cosa que los puntos en los que la ecuación atraviesa el eje x y el eje y. Entonces:

+ Cuando la ecuación atraviese el eje x, y = 0.
+ Cuando la ecuación atraviese el eje y, x = 0.

Esto puede deducirse por pura lógica.

De tal suerte, para determinar las intersecciones de nuestra ecuación y= -x² igualaremos x a 0, para obtener la(s) intersección(es) de y= -x² en el eje y, e igualaremos y a 0 para obtener la(s) intersección(es) de y= -x² en el eje x:

2.1.– Intersección de y= -x² con el eje x (y = 0).

Si para esta intersección, y necesariamente debe valer 0, entonces sustituimos este valor en la ecuación, obteniendo:

$y = - {x}^{2}$
$0 = - {x}^{2}$
$\sqrt{ \frac{0}{ - 1} } = \sqrt{ - 0} = \sqrt{0} = + - 0 = x$
Por lo tanto, la intersección de y= -x² con el eje x será el punto Ix(0, 0).

2.2.– Intersección de y= -x² con el eje y (x = 0).

Hacemos lo mismo que en el punto anterior, pero ahora lo hacemos con x en lugar de y:

$y = - {x}^{2}$
$y = - ({0})^{2} = - (0) = - 0 = 0$
Por lo tanto, la intersección de y= -x² con el eje y estará en el punto Iy(0, 0).

Fíjese que la intersección en x es la misma que la intersección en y: en el origen. Podríamos haber calculado, pues, sólo una intersección y haber deducido la restante por lógica.

3.– Rango.

Para determinar este punto, nos valdremos de la ecuación y las coordenadas del vértice:

$y = - {x}^{2}$
$v(0. \: 0)$
Las funciones de segundo grado siempre formarán una parábola. Por su ecuación podemos saber si ésta se desarrolla vertical u horizontalmente, y si lo hace hacia el eje positivo o negativo de x o de y.

En este caso, la ecuación nos indica que la parábola es vertical, y su signo (–) nos indica que se desarrollará hacia el eje negativo de y; es decir, hacia abajo.

Si sabemos que su vértice está en (0, 0), y que la parábola abre hacia abajo, entonces el rango de la ecuación comprenderá todos los valores de y menores o iguales a 0. Se puede expresar de muchas maneras:

Rango de y= -x²:
+ yER | y≤0 ("y pertenece a todos los elementos reales menores o iguales a 0").
+ yER - {y>0} ("y pertenece a todos los elementos reales, a excepción de aquellos que son mayores a 0").
+ (0, -∞) ("El rango de y= -x² se desarrolla de 0 hasta el infinito negativo").

Las tres maneras son correctas, y nos dicen lo mismo.

4.– Dominio.

y= -x² es una ecuación polinomial, y todas las ecuaciones polinomiales tienen su dominio en todos los números reales. Por lo tanto:

Dominio de y= -x²:
+ xER ("x pertenece a todos los elementos reales").
+ (-∞, +∞) ("El dominio de y= -x² se desarrolla desde el infinito negativo hasta el infinito positivo").

Ambas son lo mismo.

Ahora sólo te queda dibujar la gráfica. Para ellos tendrás que tabular y sacar las coordenadas de varios puntos de la ecuación, para luego unirlos. La gráfica debe parecerse a la imagen que te adjunto.

Espero haberte ayudado. Un abrazo.