Question

Usted está diseñando un jardín infantil en cuyo patio instalará una superficie elástica (“brinquitos”) de constante 30000N/m. Si un niño de 30 kg estira la superficie 15 cm; a qué altura llegará? (R/ 1,125m) Usted la incluiría en su diseño (explique)?

Answer 1

Buenas!

Este ejercicio se puede resolver de dos formas pero lo mas normal es resolverlo por medio de la conservacion de la energia mecanica.

¿Pero que es la energia mecanica y la conservacion de la energia mecanica?

Definimos la energia mecanica como la suma de la energia potencial de un cuerpo (Esta energia puede ser energia potencial gravitacional, elastica...) y la energia cinetica (Asociada a la velocidad dell cuerpo). Por lo tanto la energia mecanica es:

$E_M=E_c+E_p$

Ahora bien, la conservacion de la energia mecanica nos dice que la energia mecanica de un sistema es constante en el tiempo. Esto significa que si la energia potencial disminuye entonces la energia cinetica debe aumentar de manera que su suma sea constante e igual a la energia inicial del sistema.

$E_{m_1}=E_{m_2}\\E_{c_1}+E_{p_1}=E_{c_2}+E_{p_2}$

Pasemos ahora al caso que nos plantea el problema.

La energia cinetica siempre viene dada por:

$E_c=\frac{1}{2}mV^2\\Donde:\\V: Velocidad(m/s)\\m: masa(m)$

Y en este caso nuestra energia potencial es energia potencial elastica cuando el niño va a saltar, que viene dada por la expresion:

$E_p=\frac{1}{2}kx^2\\Donde:\\k: Constante \ elastica \ (N/m)\\x: Desplazamiento \ (m)$

Y energia potencial gravitatoria cuando el niño esta en el aire, en mitad del salto. Viene dada por la expresion:

$E_p=mgh\\Donde:\\m: Masa \ (kg)\\g: 9.8 \ m/s^2 \ (Aceleracion \ de \ la \ gravedad)\\h: Altura \ (m)$

Podemos aplicar la conservacion de la energia mecanica considerando dos situaciones. La primera sera justo cuando el niño esta a punto de saltar y por lo tanto la energia cinetica es cero y la energia potencial elastica es maxima. La segunda situacion es cuando el niño ha alcanzado la maxima altura y de nuevo la energia cinetica es cero y la energia potencial gravitatoria es maxima. Entonces:

$E_{m_1}=E_{m_2}\\\frac{1}{2}kx^2=mgh$

Conocemos todos los valores de esta expresion a excepcion de la altura, que es lo que estamos buscando:

$k=30000 \ N/m\\x=0.15 \ m\\m=30 \ kg\\g= 9.8 \ m/s^2\\h= \ ? \ m$

Sustituimos en la igualdad anterior

$\frac{1}{2}*30000*0.15^2=30*9.8*h$

Despejamos h y obtenemos

$h=1.15 \ m$

Ahora, a la pregunta de si incluiria este trampolin en el diseño mi opinion seria que no. La razon es porque un niño que deformara el trampolin solo 15cm saltaria a mas de un metro de altura, lo que en algunos casos puede ser mas altura incluso que la del niño y por lo tanto el trampolin resultaria en graves accidentes de no incluir mas medidas de seguridad ya que un niño podria caer al suelo desde una altura peligrosa.

Espero que te haya servido y si tienes alguna pregunta no dudes en comentar.