Respuestas
Los números enteros son un conjunto de números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo. El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra \scriptstyle \mathbb{Z} = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).
Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse y dividirse, de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.
Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria, en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.
También hay ciertas magnitudes, como la temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar, y por el contrario, la orilla del Mar Muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.
Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.
El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).
No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.
Aplicación en contabilidad
Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos.
El conjunto de los n¶umeros enteros es :
Z = f : : : ; ¡3; ¡2; ¡1; 0; 1; 2; 3; : : : g = ¡N [ f0g [ N (donde ¡ N := f ¡n; n 2 N g):
Una de las razones de la necesidad de trabajar con estos n¶umeros es que en N no se puede restar
(en general), y as¶³ Z se obtiene a partir de N agregando los n¶umeros negativos. Mencionemos
que en Z la operaci¶on + cumple las siguientes propiedades, que le dan una estructura de Grupo
Conmutativo :
² Para todo a; b 2 Z, a + b 2 Z.
² Conmutatividad : Para todo a; b 2 Z, a + b = b + a .
² Asociatividad : Para todo a; b; c 2 Z, (a + b) + c = a + (b + c) (y por lo tanto, se puede
escribir a + b + c sin aclarar qu¶e se suma primero).
² Existencia de Elemento Neutro : Existe un elemento en Z (¶unico) que es el 0 , que veri¯ca
que para todo a 2 Z, a + 0 = a .
² Existencia de Opuesto : Para todo a 2 Z, existe un (¶unico) elemento, que es ¡a , tal que
a + (¡a) = 0 .
La raz¶on por la que se le da un nombre a los conjuntos con una operaci¶on que veri¯ca las 5
propiedades mencionadas, es que se observ¶o que hay much¶³simos conjuntos que, junto con una
operaci¶on, veri¯can esas propiedades (por ejemplo, con la suma, Q , R , C , R
2
, R[X] , . . . ) y
entonces, a ¯n de estudiar las consecuencias de esas propiedades, conviene hacerlo de una vez por
todos en el caso abstracto general y luego aplicarlo en cada caso en lugar de estudiarlas para cada
conjunto en particular.
En Z tambi¶en se puede multiplicar : la operaci¶on ¢ cumple propiedades parecidas a + , aunque
no todas :
² Para todo a; b 2 Z, a ¢ b 2 Z.
² Conmutatividad : Para todo a; b 2 Z, a ¢ b = b ¢ a .
² Asociatividad : Para todo a; b; c 2 Z, (a ¢ b) ¢ c = a ¢ (b ¢ c)(= a ¢ b ¢ c = a b c) .
² Existencia de Elemento Neutro : Existe un elemento en Z (¶unico) que es el 1 , que veri¯ca
que para todo a 2 Z, 1 ¢ a = a .
¤Notas correspondientes a la parte de \Enteros" de la materia Algebra 1 de la Facultad de Ciencias Exactas y
Naturales, Universidad de Buenos Aires, con el apoyo de los subsidios UBACyT X-198 y CONICET 2461/01.
1² No hay Existencia de Inverso multiplicativo : Los ¶unicos elementos inversibles a de Z para
el producto, o sea que veri¯can que existe a
¡1
2 Z de manera que a ¢ a
¡1 = 1 son el 1 y el
¡1 .
La propiedad siguiente relaciona el producto con la suma:
² Distributividad del producto sobre la suma : Para todo a; b; c 2 Z, a ¢ (b + c) = a ¢ b + a ¢ c .
Estas propiedades de la suma y el producto en Z hacen que Z tenga una estructura de Anillo
Conmutativo (estructura que conviene estudiar en general por las mismas razones que conviene
estudiar la de Grupo).
Recordemos otras propiedades que ya conocemos de Z o tambi¶en de subconjuntos de Z :
² Z es un conjunto inductivo, que contiene estrictamente a N y para el cual no vale as¶³ nom¶as
el principio de inducci¶on ya que no tiene primer elemento por el cual empezar la inducci¶on.
² Si ¯jamos n0 2 Z, en Zn0
:= fm 2 Z;m ¸ n0g vale el principio de inducci¶on empezando en
n0 . Por ejemplo en N0 := N [ f0g vale el principio de inducci¶on.
² Equivalentemente, Zn0 y N0 son conjuntos bien ordenados, o sea, cualquier subconjunto no
vac¶³o de Zn0
o N0 tiene primer elemento o m¶³nimo (un elemento en el subconjunto menor
o igual que todos los demas)