Diego ha cercado un terreno de forma rectangular con “n” metros de malla para usarlo como una granja. ¿Cómo se expresaría el área máxima del terreno cercado en términos de “n”?
Respuestas
el area maxima de un rectangulo es un cuadrado
sea a el lado del cuadrado
a+a+a+a = n
4a = n
a = n/4
el area maxima en terminos de n seria
a² = (n/4)²
a² = n²/16
el area maxima en terminos de n es: n²/16
El área máxima del terreno en términos de "n" es igual a n²/16
Presentación de las ecuaciones
Tenemos que el terreno tiene n metros de mallas para usarlo en la granja, entonces tenemos que el perímetro del terreno es "n", ahora para ser un terreno rectángular, tenemos que tiene dos lados a y b de diferente longitud, por lo tanto, tenemos que:
2*(a + b) = n
a + b = n/2
b = n/2 - a
Luego, el área del terreno es el producto de sus lados:
a*b = a*(n/2 - a) = an/2 - a²
El área máxima es el máximo de la función que depende de a, como es cuadrática con coeficiente principal negativo, entonces su máximo es el punto crítico, por lo tanto derivamos e igualamos a cero:
n/2 - 2a = 0
2a = n/2
a = n/4
b = n/2 - n/4 = n/4
Area = n/4*n/4 = n²/16
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