Question

Evaluar las siguientes integrales impropias y grafiquelas en Geogebra para determinar si convergen o divergen.
1. ∫ _0^3▒dx/(x-1)^(2/3)

Answer 1

espuesta:

f(x) = 1/√(1-x)³) dx

Calcularemos primero el dominio de la función de modo que tenemos las siguientes restricciones:

(1-x) ≠ 0

x≠1

además sabemos que

(1-x)) ≥ 0

x≤1

Por lo tanto Df: Todos los reales mayores que 1.

por lo que tenemos una singularidad en x= 1:

Resolvemos la integral:

...> Evaluamos de cero a uno por la izquierda debido a que en 1 hay una singularidad, lo que nos indica que 1- es un valor que se aproxima mucho a uno pero no es uno

Evaluamos en los límites y tenemos:

I = π/2 +1

Por lo que la función converge.

Answer 2

RESPUESTA:

Tenemos la siguiente integral:

$\int\limits^3_0 {1/(x-1)^{2/3} \, dx$

Ahora, debemos buscar el dominio de f(x), por tanto tenemos que:

f(x) = 1/(x-1)²/³

La única restricción es que denominador debe ser distinto de cero, ya que la raíz cubica no tiene restricción entonces:

x-1 ≠ 0

x ≠ 1

Entonces el dominio es Df: (-∞,1) U(1,+∞)

Entonces, tenemos una singularidad en x =1.

Observemos que nuestra impropia comienza en cero, y nuestra singularidad esta en el medio, entonces debemos separar nuestra integral, tenemos:

Debemos aplicar el limite a la integral, es decir:

∫₀¹⁻  1/(x-1)²/³  dx  + ∫₁₊³  1/(x-1)²/³  dx

Lim(a→∞) ∫₀ᵃ⁻  1/(x-1)²/³  dx  + ∫ₐ₊³  1/(x-1)²/³  dx

Pasamos a resolver la integral, tenemos que:

∫ 1/(x-1)²/³ dx

Aplicamos propiedad de potencia, tenemos que:

∫ (x-1)⁻²/³ dx

Aplicamos inmediata y tenemos que:

I = 3·(x-1)¹/³

Ahora colocamos los limites a evaluar, tenemos que:

I = 3·(x-1)¹/³ |₀ᵃ⁻  + 3·(x-1)¹/³ |ₐ₊³

Evaluamos limite superior menos limite inferior:

I = [3·(a-1)¹/³ - 3·(0-1)¹/³] +  [3·(3-1)¹/³ - 3·(a-1)¹/³]

I = [3·(a-1)¹/³ + 3]  + [3·∛2 - 3·(a-1)¹/³]

Ahora, falta sacar el limite, es decir:

I = Lim(a→∞) [3·(a-1)¹/³ - 3]  +  Lim(a→∞)  [3·∛2 - 3·(a-1)¹/³]

I = +3 + 3·∛2

Por tanto, nuestra integral converge a 6.68.

¿TIENE SENTIDO ESTO?

Si observamos la gráfica podemos observar que el área que hay desde [0,3] es una área finita, entonces si tiene sentido.