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Hola!!!
Para que una Función sea continua en x = c se deben de cumplir algunos requisitos:
1) Que Exista f(c)
2) Que Exista el lim x→c f(x) // lim x→c⁻ f(x) = lim x→c⁺ f(x)
3) Que lim x→c f(x) = f(c)
1)
f(x) = (x + 2)/(x-2)
1) f(3) = (3 + 2) /(3 - 2)
f(3) = 5/1
f(3) = 5 Existe ⇒ Cumple la Condición 1)
2) limx→3 (x + 2)/(x-2) = (3 + 2) / 3 - 2) = 5/1 = 5
limx→3 (x + 2)/(x-2) = 5 Existe ⇒ Cumple la Condición 2)
3) limx→3 (x + 2)/(x-2) = f(3)
5 = 5 ⇒ Cumple con la Condición 3)
⇒ f(x) CONTINUA en x = 3
2)
f(x) = (x² - 1)/(x² - x)
1) f(1) = (1² - 1)/(1² - 1) = 0/0 Indeterminado
Debo usar algunos artificios matemáticos para poder resolver:
f(x) = (x² - 1)/(x² - x) = (x² - 1²)/(x² - x)
Diferencia de Cuadrados: (a + b)(a - b) = a² - b²
(x² - 1²) = (x - 1)(x + 1) ( i )
Factor Común:
x² - x = x(x - 1) ( ii )
f(x) = ( i )/( ii )
f(x) = (x - 1)(x + 1)/x(x - 1)
f(x) = (x + 1)/x
f(1) = (1 + 1 )/1
f(1) = 2 Existe ⇒ Cumple la Condición 1)
2) limx→1⁻ (x + 1)/x = (1 + 1)/1 = (1 + 1)/1 = 2/1 = 2
limx→1⁻ (x + 1)/x = 2 Existe ⇒ Cumple la Condición 2)
3) limx→1 (x + 1)/x = f(1)
2 = 2 ⇒ Cumple con la Condición 3)
⇒ f(x) CONTINUA en x = 1
3)
║ 3x si x ≤ 1
F(x) ║x + 2 si x < 1
1) f(1) = 3×1 = 3 Existe ⇒ Cumple la Condición 1)
2) limx→1⁻ (3x) = limx→1⁺ (x + 2)
3×1 = 1 + 2
3 = 3 Existe ⇒ Cumple la Condición 2)
3) limx→1 (3x) = f(1)
3 = 3 ⇒ Cumple con la Condición 3)
⇒ F(x) CONTINUA en x = 1
║ 3x si x ≠ 1
G(x) ║1 si x = 1
1) f(1) = 1 Existe ⇒ Cumple la Condición 1)
2) limx→1⁻ (3x) = limx→1⁺ (3x)
3×1 = 1 + 2
3 = 3 Existe ⇒ Cumple la Condición 2)
3) limx→1 (3x) = f(1)
3 = 1 xxxx ⇒ NO Cumple con la Condición 3)
⇒ G(x) NO ES CONTINUA en x = 1
Puedes comprobar en GeoGebra.
Dejo 2 archivos adjuntos con mas cálculos y esquemas gráficos.
Saludos!!!
