Question

Muchos sistemas físicos (Péndulo Simple, Sistema masa-rorte amortiguado, Sistema masa-rorte no amortiguado, Sistema masa-rorte movimiento forzado, circuitos, etc.) se dcriben mediante ecuacion diferencial de segundo orden.


La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 m (d^2 θ)/(dt^2 )+10θ=0 : Si para t=0 , θ=0,2 rad y la velocidad angular inicial dθ/dt=1 rad/s , Determine θ en función de t para el movimiento.



SOLUCIÓN




Si para t=0 , θ=0,2 rad y la velocidad angular inicial dθ/dt=1 rad/s , θ en función de t corrponde a:


Se parte de la ecuación:

(d^2 θ)/(dt^2 )+10θ=0


Para simplificar la ecuación se ruelve la ecuación auxiliar:

m^2+10=0


Solucionando por fórmula cuadrática se obtienen las siguient solucion:

m_1=√10 i

m_2=-√10 i


Cuando las raíc son complejas, una función complementaria :

Answer 1

RESPUESTA:

Para resolver esto debemos resolver la ecuación diferencial, tenemos que:

d²θ/dt² + 10θ = 0  

Debemos buscar una ecuación característica.

r² + 10 = 0  con soluciones   r = +/-√10 i  

Observamos que tenemos raíces imaginarias, por tanto se tendrá la siguiente forma:

θ(t) = C1 sen( √10 t) + C2 cos( √10 t)  

Derivamos la expresión para tener la velocidad y para tener aceleración angular.

Velocidad angular  

θ'(t) = dθ/dt = √10 C1 cos( √10 t) - √10 C2 sen( √10 t)  

Aceleración angular  

θ''(t) = d^2 θ/dt^2 = -10 C1 sen( √10 t) - 10 C2 cos( √10 t)  

Con las condiciones iniciales podemos decir que:

θo = θ(0) = C1 sen( √10 0) + C2 cos( √10 0)  

θo = C2  

C2 = θ₀

Si tenemos la velocidad angular inicial θ'o para t = 0  

θ'o = θ'(0) = √10·C1 cos(√10 0) - √10·C2 sen( √10 0)  

θ'o = √10 C1  

C1 = (1/√10) θ'₀

Sustituimos ambas constante que la función de desplazamiento y tenemos que:

θ(t) = (1/√10) θ'₀ sen( √10 t) + θ₀ cos( √10 t)  

Los parámetros iniciales son:

θo = 0.2 rad  

θ'o = 1 rad/s  

C1 = (1/(√10 (1/s))) * 1 rad/s = 0.31 rad  

C2 = 0.2 rad  

Con estos datos obtenemos  

θ(t) = (0.31) sen( √10·t) + (0.2) cos( √10·t)  

Debemos tener en cuenta que para estos ejercicio debemos utilizar las condiciones iniciales que se nos han dado.

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