Question

encuentre el conjunto solucion para la siguiente ecuacion
|6x - 10| <14

Answer 1

Para resolver una desigualdad con valor absoluto podemos emplear una estrategia que sería elevar al cuadrado ambos miembros de la desigualdad para quitar las barras de valor absoluto.

|6x - 10| <14

(|6x - 10|)²<(14)²

Del lado izquierdo tenemos un binomio cual cuadrado, del lado derecho un número al cuadrado, podemos desarrollar.

(a+b)²=a²+2ab+b²

(|6x - 10|)²<(14)²

36x²-120x+100<196

Podemos​ dejar un cero al otro lado de la desigualdad.

36x²-120x+100-196<0

Reducimos términos semejantes.

36x²-120x-96<0

Ahora podemos dividir toda la inecuación entre 12.

3x²-10x-8<0

Ahora por último podemos factorizar para resolver.

(x-4)(3x+2)<0

Ahora encontramos los puntos críticos de la función.

x-4=0
x=4

3x+2=0
3x=-2
x=-⅔

Ahora con los valores encontrados vamos a definir nuestros intervalos.

nota: estoy utilizando el método de análisis de signos.

primer intervalo. (-∞,-⅔)
segundo intervalo (-⅔,4)
tercer intervalo (4,∞)

Pongo paréntesis por que los extremos no están incluidos.

Ahora vamos a fijarnos en la desigualdad factorizada.

(x-4)(3x+2)<0

Vamos a escojer un valor (que no sean extremos) de cada uno de los intervalos y vamos a ver si cumple la desigualdad, sino lo hace lo vamos a descartar.

1)
primer intervalo. (-∞,-⅔)

Vamos a elegir por ejemplo el "-1" que cae dentro del intervalo.

(x-4)(3x+2)<0
(1-4)(3(-1)+2)<0
(-3)(-1)<0
3<0
falso, por lo tanto descartamos ese intervalo.

2)
segundo intervalo (-⅔,4)

Vamos a elegir por ejemplo el "0" que cae dentro del intervalo.

(x-4)(3x+2)<0
(0-4)(3(0)+2)<0
(-4)(2)<0
-8<0
Verdadero, por lo cual tomamos parte de la solución ese intervalo.

3)
tercer intervalo (4,∞)

Vamos a elegir por ejemplo el "5" que cae dentro del intervalo.

(x-4)(3x+2)<0
(5-4)(3(5)+2)<0
(1)(17)<0
17<0
falso, por lo cual descartamos este intervalo.

Concluyendo nos queda que la solución a la desigualdad es el intervalo de.

(-⅔,4)

Solución

x€(-⅔,4)

Espero haberte ayudado..