Question

La suma de la serie convergente ∑n=1∞(12n−13n)

Answer 1

RESPUESTA:

Para saber si una serie converge o diverge debemos aplicar el CRITERIO DE LA RAZÓN, el cual nos indica lo siguiente:

Lim(n→∞) |(an+1)/(an)| = L

Entonces tenemos la serie tal que:

∑ (12ⁿ - 13ⁿ)

Esta va desde 1 hasta infinito. Aplicamos el criterio, pero antes buscamos los términos necesarios.

an = 12ⁿ - 13ⁿ

an+1 = 12ⁿ⁺¹ - 13ⁿ⁺¹ = 12·12ⁿ - 13·13ⁿ

Tenemos entonces que:

Lim(n→∞) |(12ⁿ - 13ⁿ )/(12·12ⁿ - 13·13ⁿ)|

Ahora, para solucionar este limite debemos observar quien crece más rápido, el numerador o denominador, preguntemos:

¿Qué termino crece más rápido?

Pues crece más rápido el 13ⁿ, y tenemos este termino en el númerador y denominador, por tanto el limite será:

Lim(n→∞) |(12ⁿ - 13ⁿ )/(12·12ⁿ - 13·13ⁿ)| = 1/13 = 0.0769

Ahora el criterio nos indica que SI L > 1 ENTONCES LA SERIE CONVERGE, esto se cumple, por tanto la serie converge.