Question

1. La siguiente formula ayuda a calcular el monto total bajo interés continuo: S=Pe^rt; es el monto total S de un capital P dólares después de t años, a una tasa anual de interés r compuesta continuamente.
Con base a esta información, resuelva:
Si se invierte $300 dólares a una tasa anual del 5% compuesto continuamente, calcular el monto acumulado al final de 4 y 8 años.


2. Al principio de un experimento se encontró que en un cultivo de bacterias había 10.000 individuos. Se observó el crecimiento de la población y se encontró que en un tiempo posterior t(horas) después de empezado el experimento, el tamaño de la población p(t) se podía expresar por la fórmula: p(t)= 2500(2+t)^2.

p´(t)=lim┬(h→0)⁡〖(p(t+h)-p(t))/h〗
Determine desde los límites la fórmula de la razón de crecimiento de la población en cualquier tiempo t y en particular calcule la razón de crecimiento para t = 15 minutos y para t = 2 horas.
Por favor ayudenme

Answer 1

RESPUESTA:

1- Tenemos que para este ejercicio debemos evaluar en la función que tenemos y buscar el acumulado total, tenemos que:

S = P·e^(r·t)

Entonces, para t = 4 años, tenemos que:

S = $300·e^(0.05·4)

S = $366.42

Ahora, para t = 8 años, tenemos que:

S = $300·e^(0.05·8)

S = $447.55

Podemos observar que para 4 años ya se pago la inversión y se tiene una ganancia, y para 8 años ya tenemos son más ganancias respecto a la inversión.

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2- Para resolver este ejercicio debemos encontrar la derivada de la expresión utilizando la definición por limite, tenemos que:

p'(t) = lim(h→0)  [p(t+h)-p(t)]/h

Ahora buscamos cada parámetro, tenemos que:

p(h+t) = 2500·(2+t+h)²

p(t) = 2500(2+t)²

Simplificamos para tener mejor forma de resolver:

p(t) = 2500(4+4t+t²)

p(h+t) = 2500·(4+4t+4h+t²+2·t·h+h²)

Ahora procedemos a simplificar:

p(h+t) - p(t) = 2500[4 + 4t + 4h +t²+ 2th + h² - 4 - 4t -t²)

p(h+t) - p(t) = 2500[4h + 2th + h²]

Sacamos factor común h y tenemos que:

p(h+t) - p(t) = 2500h·(4+2t+h)

Ahora buscamos el limite, tenemos que:

p'(t) = lim(h→0)  [p(t+h)-p(t)]/h

p'(t) = lim(h→0) 2500h·(4+2t+h)/h

p'(t) = 5000·(2+t) → Derivada de la función

Ahora evaluamos en los puntos necesarios.

p'(0.25h) = 5000·(2+0.25) = 12500 bacterias

p'(2h) = 5000·(2+2) = 20000 bacterias