Evaluar las siguientes integrales impropias y grafiquelas en Geogebra para determinar si convergen o divergen.
Respuestas
Evaluar la siguiente integral impropia y grafíquela para determinar si convergen o divergen.
Hola!!
La función x/e⁻ˣ es continua en todos los Reales, por lo tanto, también lo es en el intervalo (0 ; ∞) ⇒
Que es una Integral Impropia de Primera Especie.
Si f(x) es Continua ∀ x ≥ a ⇒ ∫ₐ∞ f(x) dx = lim b→∞ ∫ₐᵇ f(x) dx
∫ₐ∞ x/e⁻ˣ dx = ∫ₐ∞ x eˣ dx
Propiedad de Potencia: 1/a = a⁻¹ ⇒ 1/e⁻¹ = e⁻¹⁽⁻ˣ⁾ = eˣ
Debo resolver la integral, para ello aplico Integración por Partes:
∫ u.v' dx = u.v - ∫ u'.v dx
u = x ⇒ u' = dx
v' = eˣ ⇒ v = ∫ eˣ dx = eˣ
⇒ ∫ₐ∞ x eˣ dx = x. eˣ - ∫ eˣ dx = x.eˣ - eˣ = eˣ(x - 1)
∫ₐ∞ x/e⁻ˣ dx = lim b→∞ eˣ(x - 1)
e∞(∞ - 1) - e⁰(0 - 1) = ∞.∞ - 1(-1) = ∞ + 1 = ∞
⇒ ∫ₐ∞ x/e⁻ˣ dx = ∞ ⇒ Diverge
Recordemos que:
e∞ = ∞ (ver archivo adjunto con grafico de función exponencial eˣ)
∞ × ∞ = ∞
Para comprobar que Diverge graficamos la función x/e⁻ˣ (ver archivo adjunto, o lo podemos comprobar en GeoGebra)
Para resolver este tipo de Problemas debemos saber: clasificar las integrales Impropias, si son de Primera o Segunda Especie, propiedades de Potencias, Integración por partes, operaciones con infinitos y resolver limites.
Espero haber ayudado!!!
Saludos!!!
