Question

Una parábola tiene su vértice en el origen e intersecta a la recta x+4y-9=0, en el punto donde su abscisa es la mitad de su ordenada. Encuentra la ecuación de la parábola. (dos soluciones)

Answer 1

Vértice de una función cuadrática: es el punto donde la parábola cruza su eje de simétrica.

Supongamos que tenemos  una función (polinomio) f cuadrático (grado 2) entonces, escribamos su ecuación general:

$f(x)= ax^{2} + bx+c$

donde a,b,c son los coeficientes del polinomio.

El vértice de un polinomio cuadrático es el máximo o mínimo del mismo (dependiendo de si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo), y este para el eje x viene dado por:

x= -b/2a

El vértice  es en el origen (0,0) entonces:

0= -b/2a

Entonces b= 0.

Ademas sustituimos el punto (0,0) en nuestra ecuacion:

$f(x)= ax^{2} + bx+c$

$0= a*0^{2} + b*0+c$

$0= c$

Intersecta a la recta x+4y-9=0, en el punto donde su abscisa es la mitad de su ordenada. la abscisa es la mitad de las ordenadas: x=y/2

Entonces y= 2x.

Sustituimos en la recta

x+4(2x)-9=0

x+8x-9= 0

9x-9= 0

9x= 9

x= 1

Hallamos x en el punto y:

y=2(1)= 2

Entonces intersecta a la recta en el punto (1,2), es decir, pasa por el punto (1,2).

Ahora en nuestra ecuacion:

$f(x)= ax^{2} + bx+c$

Tenemos que b= c = 0

$f(x)= ax^{2}$

Y pasa por el punto (1,2)

$2= a*1^{2}$

$2= a$

Por lo tanto la ecuación de la parábola  es:

$f(x)= 2x^{2}$