Question

Representa una función cuadrática con las siguientes características a:vértice en (2,-4) b: puntos de corte con el eje x (-2,0) y (6,0)

Answer 1

Vértice de una función cuadrática: es el punto donde la parábola cruza su eje de simétrica.

Puntos de corte con el eje x en (-2,0) y (6,0)

Supongamos que tenemos  una función (polinomio) f cuadrático (grado 2) entonces, escribamos su ecuación general:

$f(x)= ax^{2} + bx+c$

donde a,b,c son los coeficientes del polinomio.

El vértice de un polinomio cuadrático es el máximo o mínimo del mismo (dependiendo de si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo), y este para el eje x viene dado por:

x= -b/2a

Como el vértice es en (2,-4) entonces:

2=-b/2a

Despejando:

b/2a=-2

b= -4a

Sustituimos ademas (-2,0) en nuestra ecuación del polinomio

$0= a*(-2)^{2} + b*(-2)+c$

$0= 4a -2b+c$

Sustituimos ahora (6,0)

$0= a*(6)^{2} + b*(6)+c$

$0= 36a +6b+c$

Ademas sabemos que pasa por el vertice (2,-4)

$-4= a*(2)^{2} + b*(2)+c$

$-4= 4a + 2b+c$

$0= 4a + 2b+c+4$

Tenemos 4 ecuaciones y tres incognitas:

$0= 4a -2b+c$  (1)

$0= 36a +6b+c$ (2)

$0= 4a + 2b+c+4$ (3)

b= -4a (4)

Este problema tiene mas ecuaciones que incógnitas es decir que o no tiene solución o tiene una única solución.

Sustituimos la 4ta ecuación en la primera y en la segunda:

$0= 4a -2(-4a)+c$

$0= 4a+ 8a+c$  

$0= 12a+c$  (5)

$0= 36a +6(-4a)+c$

$0= 36a -24a+c$

$0= 12a+c$  (6)

Vemos que la ecuación 5 y 6 son iguales por lo tanto es necesario utilizar la tercera ecuación:

$0= 4a + 2b+c+4$

Sustituimos la cuarta ecuacion en esta

$0= 4a + 2(-4a)+c+4$

$0= 4a -8a+c+4$

$-4= -4a +c$ (7)

Sumamos la 6ta ecuacion con 3 veces la septima:

-12=12a-12a+c+3c

12= 4c

c= 3

Sustituimos el valor de c en la 6ta ecuacion:

$0= 12a+3$

$-3= 12a$

$a= -3/12= -1/4 = -0.25$

Por último sustituimos el valor de a en le ecuación cuatro:

b= -4(-1/4)= 1

Por lo tanto la función cuadrática es:

$f(x)= -0.25x^{2} + x+3$