La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 m es (d^2 θ)/(dt^2 )+10θ=0 : Si para t=0 , θ=0,2 rad y la velocidad angular inicial dθ/dt=1 rad/s , Determine θ en función de t para el movimiento.
Respuestas
RESPUESTA:
Para resolver esto debemos resolver la ecuación diferencial, tenemos que:
d²θ/dt² + 10θ = 0
Debemos buscar una ecuación característica.
r² + 10 = 0 con soluciones r = +/-√10 i
Observamos que tenemos raíces imaginarias, por tanto se tendrá la siguiente forma:
θ(t) = C1 sen( √10 t) + C2 cos( √10 t)
Derivamos la expresión para tener la velocidad y para tener aceleración angular.
Velocidad angular
θ'(t) = dθ/dt = √10 C1 cos( √10 t) - √10 C2 sen( √10 t)
Aceleración angular
θ''(t) = d^2 θ/dt^2 = -10 C1 sen( √10 t) - 10 C2 cos( √10 t)
Con las condiciones iniciales podemos decir que:
θo = θ(0) = C1 sen( √10 0) + C2 cos( √10 0)
θo = C2
C2 = θ₀
Si tenemos la velocidad angular inicial θ'o para t = 0
θ'o = θ'(0) = √10·C1 cos(√10 0) - √10·C2 sen( √10 0)
θ'o = √10 C1
C1 = (1/√10) θ'₀
Sustituimos ambas constante que la función de desplazamiento y tenemos que:
θ(t) = (1/√10) θ'₀ sen( √10 t) + θ₀ cos( √10 t)
Los parámetros iniciales son:
θo = 0.2 rad
θ'o = 1 rad/s
C1 = (1/(√10 (1/s))) * 1 rad/s = 0.31 rad
C2 = 0.2 rad
Con estos datos obtenemos
θ(t) = (0.31) sen( √10·t) + (0.2) cos( √10·t)
Debemos tener en cuenta que para estos ejercicio debemos utilizar las condiciones iniciales que se nos han dado.
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