Question

Es sobre identidades trigonometricas ofrezco 74 puntos a quien me resuelva el ejercicio es este es urgente
Sen2a+tan2a=sen2a.tan2a/tana
Pd / está barra significa que está dividida por tang a la expresión después del es igual

Answer 1

sen2a + tan2a = (sen2a.tan2a)/tana

recordar que

sen2a = 2*sena*cosa    (1)

cos2a = cos²a - sen²a    (2)

cos²a + sen²a = 1            (3)

tana = sena/cosa      ⇒    tan2a = sen2a/cos2a

ahora bien

sen2a + tan2a = (sen2a.tan2a)/tana

                        = (sen2a*(sen2a/cos2a)*cosa)/sena

                        = (sen2a*sen2a*cosa)/(sena*cos2a)

por   (1) se tiene

                        = (sen2a*(2*sena*cosa)*cosa)/(sena*cos2a)

los sena se simplifican quedando

                        = (sen2a*2*cos²a)/cos2a         (4)

de las expresiones  (2) y (3)  se deduce lo siguiente

si de (3) despejo sen²a se tiene         sen²a = 1 - cos²a

reemplazo esto en (2), entonces

cos2a = cos²a - (1 - cos²a) = cos²a - 1 + cos²a = 2cos²a - 1

de esta ultimo expresion despejo 2cos²a  llegando así que

                                      2cos²a = cos2a + 1    (5)

se observa que  2cos²a figura en   (4)  por lo que se puede introducir la expresión equivalente  (5) quedando asi

sen2a + tan2a =  (sen2a*(cos2a + 1)/cos2a

                        = (sen2a/cos2a)*(cos2a + 1)

se distribuye el factor sen2a/cos2a  a los correspondientes términos

sen2a + tan2a = (sen2a/cos2a)*cos2a + (sen2a/cos2a)

 en el primer termino del segundo miembro los cos2a se simplifican por lo que se tiene finalmente que

sen2a + tan2a = sen2a + (sen2a/cos2a) = sen2a + tan2a          Q.P.D.