Question

Existen otros métodos para resolver integrales como integración por partes, integración por fracciones parciales, también métodos para resolver integrales de funciones exponenciales, logarítmicas, trigonométricas e hiperbólicas.

Resuelve las siguientes integrales paso por paso sin omitir ninguno, enunciando claramente la técnica o propiedad usada.

∫Sen^5 dx

Answer 1

Hola

Para resolver esta integral se hace de la siguiente manera:

∫sen^5 dx

1. ∫(sen²x)²senx dx

Una vez hecho eso, identificamos la propiedad que se usara, en este caso una identidad trigonométrica:

cos²x+sen²x=1

Entonces: sen²x =1-cos²x

Entonces ahora vamos a sustituir eso en nuestra integral:

∫(1-cos²x) senx dx

∫(1-2 cos²x + cos$^{4x}$)senx dx

∫senx-2cos²xsenx+cos$^{4x}$ senx dx

Una vez hecho eso ahora separamos las integrales:

∫senxdx  -2∫cos²x senxdx + ∫cos $^{4x}$ senx dx

Donde cada integral recibirá el sub-indice correspondiente I,II,III

Ahora como resultan integrales inmediatas solo debemos hacer lo siguiente:

I) ∫senxdx = - cosx+C

II) 2∫cos²xsenx dx

u= cosx , du=-senx dx (-1)

               du=senx dx

Entonces:

-2∫u²du⇒ -2$\frac{u}{3} + C$

$-\frac{2}{3} cos^{3} x + C$

III) ∫$cos^{4} x senx dx$

u=cosx, du= senx dx (-1), -du= senx dx

Ahora bien;

-∫$u^{4} du\\-\frac{u}^{5} {5} + C$

-$\frac{1}{5}$cos$^{5} x + C$

Ahora completamos la integral:

-cosx + $\frac{2}{3}$ cos ³ - $\frac{1}{5}$ cos $^{5} x$ + C

Espero ayudarte