Question

Al principio de un experimento se encontró que en un cultivo de bacterias había 45.000 individuos. Se observó el crecimiento de la población y se encontró que en un tiempo posterior t(horas) después de empezado el experimento, el tamaño de la población p(t) se podía expresar por la fórmula: p(t)= 5000(3+t)^2.

p[tex] \lim_{h \to 0 [[tex] \frac{p(t+h)-p(t)}{h} 

Determine desde los límites la fórmula de la razón de crecimiento de la población en cualquier tiempo t y en particular calcule la razón de crecimiento para t = 30 minutos y para t = 4 horas.

Adjunto envío el ejercicio, ya que no pude escribir la ecuación muy bien

Answer 1

$p(t)=5000(3+t)^2\\\\p'(t)= \lim_{h \to 0}\, \frac{p(t+h)-p(t)}{h}$

Determine desde los límites la fórmula de la razón de crecimiento de la población en cualquier tiempo t.

$p'(t)=\lim_{h \to 0}\, \frac{p(t+h)-p(t)}{h}\\\\=\lim_{h \to 0}\, \frac{5000(3+t+h)^2-5000(3+t)^2}{h}\\\\=\lim_{h \to 0}\, \frac{5000(t^2+2ht+6t+h^2+6h+9)-5000(9+6t+t^2)}{h}\\\\=\lim_{h \to 0}\, \frac{5000(2ht+h^2+6h)+5000(9+6t+t^2)-5000(9+6t+t^2)}{h}\\\\=\lim_{h \to 0}\, \frac{5000(2ht+h^2+6h)}{h}\\\\=\lim_{h \to 0}\, \frac{5000h(2t+h+6)}{h}\\\\=\lim_{h \to 0}\, 5000(2t+h+6)\\\\=5000(2t+(0)+6)\\\\=5000(6+2t)=\boxed{10000(3+t)}$

calcule la razón de crecimiento para t = 30 minutos y para t = 4 horas.

Las unidades de t en la formula son horas:

$\text{t=30 minutos=0.5 h}\\\\p'(t)=10000(3+t)\\ p'(0.5)=10000(3+0.5)=\boxed{35000}\\\\\\t=4\,h\\\\p'(t)=10000(3+t)\\p'(4)=10000(3+4)=\boxed{70000}$