Question

Para prevenir daños en los organos vitales de un paciente el radiologo debe dirigir los rayos segun la expresion y= 1 + cos 2X
Demostar que esta expresion es equivalente a y= 2 / 1+ tan^2 X

Answer 1

y = 1 + cos2x

cos2x = cos²x - sen²x

reemplazo

y = 1 + (cos²x - sen²x)

y = 1 + cos²x - sen²x

por identidad trigonométrica fundamental

cos²x + sen²x = 1   obtengo lo siguiente

y = cos²x + sen²x + cos²x - sen²x   se anulan los sen²x y tengo

y = cos²x + cos²x

y = 2cos²x   {1}

ahora bien, este no es la expresión deseada, por lo voy a trabajar un poco la expresión   cos²x + sen²x = 1  para llegar a lo que quiero

voy a multiplicar en ambos miembros de   cos²x + sen²x = 1   por  1/cos²x

(1/cos²x)(cos²x + sen²x) = 1/cos²x  

distribuyo el 1/cos²x con los términos del primer miembro

(1/cos²x)cos²x + (1/cos²x)sen²x = 1/cos²x

1 + sen²x/cos²x = 1/cos²x

como tgx = senx/cosx   entonces  tg²x= sen²x/cos²x por lo tanto

1 + tg²x = 1/cos²x  

de esta ultima expresión despejo cos²x quedando lo siguiente

cos²x = 1/(1 + tg²x)   reemplazo esto en  {1}

y = 2( 1/(1 + tg²x))

y = 2/(1 + tg²x)       {2}

quedo demostrado que  la expresión  {2} es equivalente a la expresión {1}