Question

Utilice el método de los multiplicadores de Lagrange para encontrar los extremos con restricciones de la función dada.

c f(x,y)=xy, sujeta x^2+y^2=2

Answer 1

Sabemos que la función de lagrange viene dada por:

L(x,y,λ) = f(x,y) + λg(x,y)

entonces tenemos:

f(x,y) =x*y

x²+y²=2

sustituyendo tenemos:

L(x,y,λ) = xy+λx²+λy²-2λ

De modo que ya tenemos nuestra función de lagrange, así que procedemos a resolver las derivadas parciales y las igualamos a cero:

• dL/dx = y+2λx=0
• dL/dy = x+2λy =0
• dL/dλ= x²+y²-2 =0

ahora:

x= -2λy

y+2λ(-2λy) =0

y-4λ²y=0

y(1-4λ²) =0

entonces de aca tenemos:

(1-4λ²)=0

λ = 1/2.

x=-y.

entonces:

x²+y²-2=0

2x²=2

x=1

y=-1

entonces:

P(1,-1) ---> λ = 1/2

ahora para saber si se trata de un maximo o minimo relativo tenemos:

d²L = d²L/dx²+d²L/dxdy+d²L/dydx+d²L/dydy

d²L = 2λ + 1+1+2λ / evaluado en λ=1/2

d²L= 4(1/2)+2 = 2+2 = 4 ---> Como es mayor que cero, entonces es un mínimo.