Question

Identificar los extremos de la función reconociendo su forma dada o su forma después de completar cuadrados. Verificar los resultados empleando derivadas parciales para localizar los puntos críticos y probar si son extremos relativos. c f(x,y)=√(x^2+y^2+1)

Answer 1

Respuesta:

f(x,y) =√(x^2+y^2+1)

Para determinar los puntos criticos y extremos relativos primero vamos a calcular las derivadas parciales de la función:

Derivadas de primer orden.

df(x,y)/dx =  2x/√(x^2+y^2+1)

df(x,y)/dy = 2y(√(x^2+y^2+1)

Derivadas de segundo orden.

d²f(x,y)/dx = 2y² -2 /(x²+y²+1) ^3/2

d²f(x,y)/dy=  2x² -2 /(x²+y²+1) ^3/2

Derivada cruzada.

d²f(x,y)/dx dy = -2x/(x^2+y^2+1)

Ahora que ya conocemos las derivadas parciales y cruzadas, vamos a buscar los puntos críticos, igualando las derivadas de primer orden a cero:

df(x,y)/dx =  2y² -2 /(x²+y²+1) ^3/2 =0

df(x,y)/dy = 2x² -2 /(x²+y²+1) ^3/2=0

Tenemos que:

X=Y

Y= 1

X=1

entonces tenemos al punto P(1,1)

Ahora veremos si es un máximo, mínimo o punto de silla.

Calculamos el discriminante:

D= fxx*fyy-fxy²

D= 2y(√(x^2+y^2+1) * 2x/√(x^2+y^2+1) - (-2x/(x^2+y^2+1))

D= 4xy /(x^2+y^2+1) + (2x/(x^2+y^2+1))

D= 4xy-+2x/(x^2+y^2+1) Evaluando en los puntos:

D= 4+2/3 = 2

En este caso tanto las derivadas de segundo orden como el discriminante son constante, por lo tanto:

Sabemos que el discriminaste es positivo y las derivadas de segundo orden son negativos, por lo tanto: podemos concluir que: Es un máximo local!