En una mesa horizontal sin fricción, una caja de 5.20 kg abierta de arriba se sujeta a un resorte ideal, cuya constante de fuerza es de 375 N/m. Dentro de la caja hay una piedra de 3.44 kg. El sistema oscila con una amplitud de 7.50 cm. Cuando la caja ha alcanzado su rapidez máxima, la piedra se sale repentinamente de la caja hacia arriba sin tocar ésta. Calcule a) el periodo y b) la amplitud del movimiento resultante de la caja. c) Sin realizar cálculos, ¿el nuevo periodo es mayor o menor que el periodo original? ¿Cómo lo sabe?
Respuestas
Datos:
m = 5,2 kg
K = 375 N/m
m2 = 3,44 kg
X = 7,5 cm = 0,075 m
Velocidad:
F = E
-k*X = 0,5mV² +0,5KX²
375 N/m*0,075m = 0,5*5,5 kgV² +0,5*375N/m*(0,075m)²
28,125 = 2,75V² +1,055
28,125-1,055/2,75 = V²
V = 5,2 m/seg
Periodo:
V = X/t
t = X/V
t = 0,075m/5,2m/seg
t = 0,014 seg
Frecuencia:
f = 1/0,014seg
f = 71,43 Hz
Amplitud del movimiento resultante:
V = λ*f
λ = V/f
λ = 5,2 m/seg/71,43 Hz
λ = 0,073 m
Sin realizar cálculos, ¿el nuevo periodo es mayor o menor que el periodo original? ¿Cómo lo sabe?
Como la amplitud del sistema es menor el tiempo es menor
Respuesta:
Datos:
m1 = (5.2 + 3.44) kg = 8.64 kg
m2 = 5.2 kg
k = 375 N/m
A1 = 7.5 cm = 0.075 m
Para calcular las frecuencias angulares:
w1 = raíz(k/m1) = raíz(375/8.64) = (6.588)*(rad/s)
w2 = raíz(k/m1) = raíz(375/5.2) = (8.492)*(rad/s)
Para calcular el periodo resultante: a)
T2 = 2*π/w2 = 2*π/8.492 = 0.73988 s
Para calcular la amplitud resultante: b)
Por la ley de conservación de la energía, E = K + U, siendo, E la energía total del sistema, K la energía cinética, y U la energía potencial. Cuando la rapidez es máxima, U = 0; entonces K1 = K2, las energías cinéticas antes y después de que saliera la piedra.
K1 = A1*w1;
K2 = A2*w2
A1*w1 = A2*w2
A2 = A1*w1/w2 = (0.075*6.588)/8.492 = 0.058184 m
c) El nuevo periodo es menor, pues la frecuencia aumenta al retirarle peso.